TYT Mutlak Değer – Konu Anlatım PDF 2020

2020 TYT Matematik Mutlak Değer Konu Anlatım Ders Notlarını ve Çıkmış Soru çözümlerini sizler için derledik.

26/04/2020

2535

2020 TYT Mutlak Değer – Konu Anlatım PDF

MUTLAK DEĞER NEDİR?

Bir gerçek sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. x gerçek sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir.

6 ve −6 sayısının 0’a olan uzaklığı 6 birimdir. Bu durum sembolle |6| = 6 ve |−6| = 6 şeklinde gösterilir.

Mutlak Değer, x $\in$ R olmak üzere ;

$| x | = {\begin{cases} x & x \geq 0 & i s e \\ - x & x < 0 & i s e \end{cases}$ olarak tanımlanır.

► Mutlak değerin içindeki ifade 0’a eşitse veya sıfırdan büyükse mutlak değerin dışına aynen çıkartılır.

|+3| = 3

a > 0 ise|2a| = 2a

x < 0 ise |−3x| = −3x

y gerçek sayı ise |y² + 12| = y² + 12

► Mutlak değerin içindeki ifade 0’dan küçükse mutlak değerin dışına −1 ile çarpılarak çıkartılır.

|−9| = (−1).(−9) = 9

a < 0 ise|5a| = (−1).(5a) = −5a

x > 0 ise |−7x − 10| = (−1).(−7x − 10) = 7x + 10

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

ÖRNEK: 1 < a < 2 olmak üzere |2a| + |a − 1| + |a − 3| + |−3a| ifadesinin en sade halini bulalım.

1 < a < 2 iken 2 < 2a < 4 olduğu için;
|2a| = 2a olur.

1 < a < 2 iken 0 < a − 1 < 1 olduğu için;
|a − 1| = a − 1 olur.

1 < a < 2 iken −2 < a − 3 < −1 olduğu için;
|a − 3| = (−1).(a − 3) = −a + 3 olur.

1 < a < 2 iken −3 > −3a > −6 olduğu için;
|−3a| = (−1).(−3a) = 3a olur.

Sonuç (2a) + (a − 1) + (−a + 3) + (3a) = 5a + 2 bulunur.

ÖRNEK: a < 0 < b olmak üzere |a − b| + |a − 1| + |−3a| ifadesinin en sade halini bulalım.

a < b iken a − b < 0 olduğu için;
|a − b| = (−1).(a − b) = −a + b olur.

a < 0 iken a − 1 < −1 olduğu için;
|a − 1| = (−1).(a − 1) = −a + 1 olur.

a < 0 iken −3a > 0 olduğu için;
|−3a| = −3a olur.

Sonuç (−a + b) + (−a + 1) + (−3a) = −5a + b + 1 bulunur.

MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

x, y $\in$ R olmak üzere;

1) |x| ≥ 0

Bir gerçek sayının mutlak değeri 0’a eşit ya da 0’dan büyüktür.

2) |x.y| = |x| . |y|

Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

3) y $\neq$ 0 olmak üzere: $| \frac{x}{y} | = \frac{| x |}{| y |}$

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

Bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri bu sayıların mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.

4) |x| = |−x|

Biri diğerinin −1 katı olan iki gerçek sayının mutlak değeri birbirine eşittir.

5) n $\in$ Z olmak üzere: |xⁿ| = |x|ⁿ

Bir gerçek sayının pozitif tam sayı kuvvetinin mutlak değeri, mutlak değerinin aynı kuvvetine eşittir.

6) |x+y| ≤ |x|+ |y|

İki gerçek sayının toplamının mutlak değeri sayıların ayrı ayrı mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Mutlak değer içeren denklemlere mutlak değerli denklem denir.

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

x,y,a $\in$ R olmak üzere ;

|x| = a eşitliğinde a > 0 ise x = a veya x = −a olur.

ÖRNEK: |x + 3| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x + 3 = 5 eşitliğinden x = 2 bulunur.
x + 3 = −5 eşitliğinden x = −8 bulunur.

Ç = {2, −8}

|x| = 0 ise x = 0 olur.

ÖRNEK: |2x − 8| + 4 = 4 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

|2x − 8| = 0 olduğu için 2x − 8 = 0 eşitliğinden x = 4 bulunur.

Ç = {4}

|x| = a eşitliğinde a < 0 ise denklemin çözüm kümesi boş küme olur.

ÖRNEK: |3x + 6| = −5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Ç = $\emptyset$

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

|x| = |y| ise x = y veya x = −y olur.

ÖRNEK: |x + 1| = |2x − 16| denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x + 1 = 2x − 16 eşitliğinden x = 17 bulunur.
x + 1 = −2x + 16 eşitliğinden x = 5 bulunur.

Ç = {5, 17}

|x| = y ise x = y veya x = −y olur. Bulunan köklerden mutlak değerin eşitini (y) negatif yapanlar çözüm kümesine dahil edilmez.

ÖRNEK: |x − 9| = 2x − 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

x − 9 = 2x − 3 eşitliğinden x = −6 bulunur.
x − 9 = −2x + 3 eşitliğinden x = 4 bulunur.

Mutlak değerin eşiti negatif olamayacağı için bulunan x değerlerinin 2x − 3’ü negatif yapıp yapmadığına bakarız. Bu yüzden x = −6 değeri 2x − 3’ü negatif yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez.

Ç = {4}

|x| + |y| = 0 ise x = 0 ve y = 0 olur.

ÖRNEK: |2x − 8| + |3y + 6| = 0 ise x.y ‘nin değerini bulalım.

|2x − 8| + |3y + 6| = 0
2x − 8 = 0 eşitliğinden x = 4 bulunur.
3y + 6 = 0 eşitliğinden y = −2 bulunur.

Cevap x.y = 4.(−2) = −8 olarak bulunur.

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER

Mutlak değer içeren eşitsizliklere mutlak değerli eşitsizlik denir.

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER NASIL ÇÖZÜLÜR?

x,a,b $\in$ R olmak üzere ;

|x| ≤ a eşitsizliğinde a > 0 ise −a ≤ |x| ≤ a olur.

ÖRNEK: |x + 3| ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

−5 ≤ x + 3 ≤ 5
−8 ≤ x ≤ 2

Ç = [−8,2]

|x| ≤ 0 ise x = 0 olur.

ÖRNEK: |3x + 15| ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

3x + 15 = 0 eşitsizliğinden x = −5 bulunur.

Ç = {−5}

|x| ≤ a eşitsizliğinde a < 0 ise eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme olur.

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

ÖRNEK: |2x + 7| < −4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıdan küçük olamayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Ç = $\emptyset$

|x| ≥ a eşitsizliğinde a ≥ 0 ise x ≥ a veya x ≤ −a olur.

ÖRNEK: |x − 1| ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

x − 1 ≥ 3 eşitsizliğinden x ≥ 4 bulunur.
x − 1 ≤ −3 eşitsizliğinden x ≤ −2 bulunur.

Ç = (−∞, −2] $\cup$ [4, ∞)

|x| ≥ 0 ise çözüm kümesi Ç = R olur.

ÖRNEK: |−3x + 15| ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

Ç = R

|x| > 0 ise çözüm kümesi Ç = R − {0} olur.

ÖRNEK: |−2x + 6| > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

−2x + 6 = 0 eşitliğinden x = 3 bulunur.

Ç = R − {3}

a ≤ |x| ≤ b eşitsizliğinde a > 0 ve b > 0 ise a ≤ x ≤ b veya −b ≤ x ≤ −a olur.

ÖRNEK: 4 < |x + 2| ≤ 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.

4 < x + 2 ≤ 10 eşitsizliğinden 2 < x ≤ 8 bulunur.
−10 ≤ x + 2 < −4 eşitsizliğinden −12 ≤ x < −6 bulunur.

Ç = [−12, −6) $\cup$ (2, 8]

Mutlak Değer Konu Anlatımı

A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| ³ 0 dır.

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

|x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
|x × y| = |x| × |y|
|xⁿ| = |x|ⁿ
y ¹ 0 olmak üzere,

|x| – |y| £ |x + y| £ |x| + |y|
a ³ 0 ve x Î olmak üzere,

|x| = a ise, x = a veya x = –a dır.

|x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

|x – a| + |x – b|

ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

K = |x – a| – |x – b|

olmak üzere,

x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

a < b ve c Î olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b £ x, –b < x £ –a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b £ x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b £ x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

2. Durum

–b < x £ –a ise, –x – a + x + b = c olur.

Bu denklemin kökü –b < x £ –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

2. Yöntem

a < b ve c Î olmak üzere,

|x + a| + |x + b| = c … (¶)

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = [–b, –a] dır.

Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

(¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç = Æ dir.

Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi,

Ç {–b – D, –a + D}

MUTLAK DEĞER SORU ÇÖZÜMLERİ

Örneğin;
|-5| = 5,
|7| = 7,
|0| = 0,
|-12| = 12 olur.

Bilgi: Mutlak değerin içindeki ifadenin değeri pozitif ise mutlak değerin dışına aynen çıkar, negatif ise önüne (-) alarak çıkar.

şeklinde gösterebiliriz. Her x reel sayısı için |x| ≥ 0 olur.

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

Örneğin;
|7| = 7,
|-4| = -(-4) = 4,
|√2 – 1| = √2 – 1 (√2 > 1 olduğuna dikkat edin.)
|√3 – 2| = -(√3 – 2) = -√3 + 2 (√3 < 2 olduğuna dikkat edin.)

Mutlak Değerin Özellikleri

SORU ÇÖZÜMELRİ VE PDF SAYFANIN ALT KISIMLARINDADIR.

Uyarı: |f(x)| = g(x) şeklindeki ifadelerde f(x) = g(x) ve f(x) = -g(x) denklemleri çözülüp bulunan x değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.