Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri

Konu ile ilgili PDF, Konu Anlatım Video ve Çıkmış Sorular sayfanın alt kısımlarındadır.

Bu konumuzda merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini anlatacağız.Standart Sapma (Merkezi Eğilim ve Merkezi Yayılma Ölçüleri) |Konu Anlatımlı Ders Notları | Öncelikle merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini hangi amaçla kullanacağımızı sonra şema halinde ve akılda kalıcı bir kodlamayla gruplandırmaları ve son olarak da bu ölçüleri tek tek inceleyeceğiz. Yazımızın sonunda merkezi eğilim ve yayılma ile ilgili çıkmış soruları, pdf’leri ve video konu anlatımlarını bulabilirsiniz.

Merkezi eğilim ölçüleri kısmında; aritmetik ortalamamod (tepe değer) ve medyan(ortanca) incelenecek, merkezi yayılma ölçüleri kısmında ise açıklıkçeyrekler açıklığı vestandart sapma incelenecektir.

Merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini biz gruplanmış verileri yorumlamakta kullanırız. Bu bilgiler daha kolay yorum yapmamızı ve sonuca daha kolay ulaşmamızı sağlar.

Şimdi merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri bütün halinde görebileceğimiz şemamıza geçelim.

Şemada göreceğiniz gibi merkezi eğilim ölçülerini OMO şeklinde, yayılma ölçülerini SAÇşeklinde kodlarsanız daha kalıcı olacaktır.

Şimdi bu istatistiksel temsil biçimlerinin açıklamalarına geçelim.

NOT: Sizlere daha iyi ve güncel ders notu sunabilmek için kendimizi sürekli yeniliyoruz. Sizlerde son eklenen güncel ders notları ve eğitim haberlerinden anında haberdar olmak istiyorsanız sitemize Üye Olarak bildirimlerden anında haberdar olabilirsiniz.
ÜYE OLMAK İÇİN TIKLAYIN

 

 ~MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ~

Ortalama (Aritmetik Ortalama)

Verilerin toplamının veri sayısına bölerek buluruz.

ÖRNEK

Ümit matematik sınavlarından sırasıyla 55, 65 ve 90 alıyor. Buna göre Ümit’in notlarının aritmetik ortalaması kaçtır?

Notları toplayıp 3 notu olduğu için 3’e bölmeliyiz.

\frac{55+65+90}{3}=

 \frac{210}{3}=70 buluruz.

Mod (Tepe Değer)

Bir veri grubunda en çok tekrar eden değere mod veya tepe değeri diyoruz. Tepe değeri soruya göre sayı olabileceği gibi başka türde bir bilgi de olabilir.

#Veri grubunda her sayıdan bir tane varsa mod yoktur.

#Veri grubunda birden fazla mod olabilir.

Ortanca (Medyan)

Bir veri grubundaki sayıları küçükten büyüğe sıraladığımızda tam ortadaki sayıya medyanveya ortanca deriz.

# Veri sayısı çiftse ortancayı bulmak için ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasını alırız.

~MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ~

Açıklık

Veri grubundaki en büyük sayıdan en küçük sayıyı çıkararak bulduğumuz değere açıklık veyaaralık diyoruz.

Çeyrekler Açıklığı

Bir veri grubundaki sayılar küçükten büyüğe sıralar ve sayıların ortalamasını buluruz. Ortancadan büyük olan sayıların tekrar ortancasını buluruz. Bulduğumuz bu değere üst çeyrek, ortancadan küçük olan grubun da ortancasını buluruz ve bu bulduğumuz değere ise alt çeyrek deriz.

Son olarak üst çeyrekten alt çeyreği çıkardığımızda da çeyrekler açıklığını bulmuş oluruz.

ÖRNEK

2, 3, 5, 9, 15, 19, 22 sayılarının çeyrekler açıklığını bulalım.

Konu Anlatımı 2

1) ARİTMETİK ORTALAMA

Verilerin toplamının veri sayısına bölümüyle elde edilir.

ÖRNEK: 2, 5, 11 sayılarının aritmetik ortalamasını bulalım.

2+5+113=183=62+5+113=183=6

2) MOD (TEPE DEĞER)

Bir dizideki en çok tekrar eden sayı o dizinin tepe değeridir.

# Veri grubunda her veri sadece bir kez verilmişse tepe değeri hesaplanamaz.

# Tepe değeri birden fazla olabilir.

ÖRNEK: 3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 10 veri grubunun tepe değerini bulalım.

En çok tekrar eden veri 7 olduğu için tepe değer 7’dir.

3) MEDYAN (ORTANCA DEĞER)

Bir dizideki sayılar, küçükten büyüğe doğru sıralanır. Ortadaki sayı bu dizinin medyanıdır.

# Eğer veri sayısı çift ise medyanı bulmak için ortadaki iki verinin aritmetik ortalaması alınır.

ÖRNEK: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 18 veri grubunun ortanca değerini bulalım.

Veriler sıralanmış bir şekilde verilmiş. Veri grubunun tam ortasında iki tane sayı olduğu için bu sayıların ortalaması medyandır.

8+92=172=8,58+92=172=8,5

MERKEZİ YAYILMA ÖLÇÜLERİ

1) AÇIKLIK

Dizideki en büyük sayıdan en küçük sayı çıkarılarak bulunan sayı dizinin açıklığıdır.

ÖRNEK: 3, 6, 1, 12, 7 veri grubunun açıklığını bulalım.

En büyük veri 12, en küçük veri 1 olduğu için açıklık = 12 − 1 = 11’dir

2) ÇEYREKLER AÇIKLIĞI

Dizideki sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır ve bu dizi tam ortadan iki gruba ayrılır. (medyandan)

Büyük olan grubun ortanca değerine üst çeyrek, küçük olan grubun ortanca değerine alt çeyrek denir.

Üst çeyrekle alt çeyreğin farkına çeyrekler açıklığı denir.

ÖRNEK: 12, 15, 20, 22, 25, 29, 32 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.

Verileri ortadan iki gruba ayırırız. 22 tam ortadadır ve iki gruba da dahil değildir.

Üst Grup: 25, 29, 32’dir. Bu grubun ortanca değerine üst çeyrek diyoruz. Üst Çeyrek = 29

Alt Grup: 12, 15, 20’dir. Bu grubun ortanca değerine alt çeyrek diyoruz. Alt Çeyrek = 15

Çeyrekler Açıklığı = 29 − 15 = 14’tür.

3) STANDART SAPMA

Dizideki her bir sayının aritmetik ortalama ile farklarının karelerinin veri sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküne standart sapma denir. (Evet biraz karışık bir tanım oldu, aşağıda açıklayalım =)

# Tablolar, histogram, çizgi ve sütun grafikleri istatistiksel temsil biçimleridir.

STANDART SAPMA NEDİR?

TANIM: Aritmetik ortalamaları birbirine yakın veya eşit olan iki veri grubundaki çok büyük veya çok küçük değerler verilerin dağılımını etkiler. Bu durumda veri gruplarının merkezi yayılma ölçülerinden olan açıklığına veya çeyrekler açıklığına bakılır. Bu değerler veri gruplarının üst ve alt bölgelerinde yer alan ve verilerin yayılımını etkileyen değerler hakkında tam olarak bilgi vermeyebilir. Bu durumda bir başka merkezî yayılma ölçüsü olan standart sapma kullanılır.

# Standart sapma verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.

# Aritmetik ortalamaları aynı olan farklı veri gruplarından; açıklığı küçük olanın standart sapması küçük, açıklığı büyük olanın standart sapması büyüktür.

# Standart sapmanın küçük olması bir veri grubundaki değerlerin birbirine yakın olduğunu gösterir. Standart sapmanın büyük olması ise veri grubundaki değerlerin birbirinden uzak olduğunu gösterir.

# Standart sapmanın küçük olması, ortalamadan sapmanın ve riskin azlığının; büyük olması ise ortalamadan sapmanın ve riskin çokluğunun bir göstergesidir.

STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?

Standart sapma hesaplama aşağıdaki adımları takip edilerek yapılır.

1. ADIM) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.

2. ADIM)  Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkın kareleri toplanır.

3. ADIM) Bulunan toplam veri sayısının bir eksiğine bölünerek karekökü alınır.

ÖRNEK:  Aşağıdaki veri grubunun standart sapmasını hesaplayalım.

10, 11, 13, 16, 20

1. ADIM) Önce aritmetik ortalamayı hesaplarız. Bunun için verileri toplar, veri sayısına böleriz.

10+11+13+16+20 = 70

70÷5 = 14

2. ADIM) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki farkı buluruz ve karelerini toplarız.

Verilerle Ortalama Arasındaki Fark Bu Farkların Kareleri
14 − 10 = 4 42 = 16
14 − 11 = 3 32 = 9
14 − 13 = 1 12 = 1
16 − 14 = 2 22 = 4
20 − 14 = 6 62 = 36
TOPLAM = 66

3. ADIM) Bulduğumuz sayıyı veri sayısının bir eksiğine bölerek karekökünü alırız.

6651−−−√=664−−√=16,5−−−−√4665−1=664=16,5≅4 bulunur.

ÖRNEK: İki öğrencinin bir hafta içinde okudukları kitap sayfa sayıları aşağıda verilmiştir. Bu öğrencilerin kitap okuma performanslarını değerlendirelim.

GÜN 1. ÖĞRENCİ 2. ÖĞRENCİ
PAZARTESİ 10 15
SALI 25 10
ÇARŞAMBA 15 35
PERŞEMBE 20 5
CUMA 10 15

ÇÖZÜM:  Hangi öğrencinin günlük kitap okuması fazla bulalım.

1. Öğrencinin Günlük Ortalaması: 10+25+15+20+105=805=1610+25+15+20+105=805=16

2. Öğrencinin Günlük Ortalaması: 15+10+35+5+155=805=1615+10+35+5+155=805=16

İki öğrenci de günlük ortalama 16 sayfa kitap okumuştur. Ortalamaları eşit olduğu için bu öğrenciler arasında daha iyi bir değerlendirme yapabilmek için standart sapmalarına bakarız. Standart sapması düşük çıkan öğrenci daha istikrarlıdır.

1. Öğrencinin Standart Sapması:

(1610)2+(1625)2+(1615)2+(1620)2+(1610)251−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=62+92+12+42+624−−−−−−−−−−−√=36+81+1+16+364−−−−−−−−−−−√=1704−−−√=42,5−−−−√6,5(16−10)2+(16−25)2+(16−15)2+(16−20)2+(16−10)25−1=62+92+12+42+624=36+81+1+16+364=1704=42,5≅6,5 bulunur.

 2. Öğrencinin Standart Sapması:

(1615)2+(1610)2+(1635)2+(165)2+(1615)251−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+62+192+112+124−−−−−−−−−−−−√=1+36+361+121+14−−−−−−−−−−−√=5204−−−√=130−−−√11,4(16−15)2+(16−10)2+(16−35)2+(16−5)2+(16−15)25−1=12+62+192+112+124=1+36+361+121+14=5204=130≅11,4 bulunur.

YORUM:

İki öğrencinin günlük ortalama okudukları sayfa sayıları aynıdır. Ancak ilk öğrencinin standart sapması, ikinci öğrenciden düşüktür.

(Birinci öğrencinin standart sapmasının düşük çıkacağını açıklıklara bakarak da anlayabilirdik.)

Standart sapmanın düşük olması bu öğrencinin kitap okuma konusunda daha istikrarlı olduğunu, günlük okuduğu sayfa sayısının daha düzenli olduğunu gösterir.

Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri Konu İle İlgili Çıkmış Sorular:


ÖRNEK 1:

Bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıkları aşağıda verilmiştir.Bu tabloyu kullanarak erkekler ve kızlar için en küçük değer,en büyük değer, en büyük değer alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini bularak kızlar için kutu grafiğini çiziniz.ÇÖZÜM 1:Verilerin genişliğini bulabilmek için kullanılacak en uygun grafik kutu grafiğidir.Ortanca: Veriler küçükten büyüğe sıralandığında veri sayısı tek ise tam ortada kalan terimdir.*Eğer veri sayısı çiftse tam ortaya gelen iki sayının toplamının yarısı ortanca (medyan) dır.Alt Çeyrek: Ortancanın solunda kalan verilerin tam ortasındaki terimdir.Üst Çeyrek: Ortancanın sağındaki verilerin tam ortasındaki terimdir.En küçük değer: Verilerin en küçüğüdür.En büyük değer: Verilerin en büyüğüdür.Şimdi gelelim çözüme,Erkek öğrencilerin ağırlıkları sıra ile yazılır.

55,55,60,60,60,65,65,70,75,75,80Erkekler için en küçük değer: 55en büyük değer: 80ortanca: 65alt çeyrek: 60üst çeyrek: 75Kız öğrencilerin ağırlıkları sırası ile yazılır.

40,45,45,50,50,55,55,55,60,60,65Kızlar için en küçük değer: 40en büyük değer: 65ortanca: 55alt çeyrek: 45üst çeyrek: 60Bilgiler kutu grafiğe aşağıdaki gibi aktarılır.Buna göre grafiği çizelim.

ÖRNEK 2:Bir kişinin 10 günde ödediği yemek fiyatları,7,3,5,8,7,4,9,5,4,8 TL dir.Buna göre, bu verilenlerin standart sapmalarını bulalım.ÇÖZÜM 2:*Verilerin aritmetik ortalamasını bulalım.(7+3+5+8+7+4+9+5+4+8)/10=60/10=6 dır.*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.7-6=1,3-6=-3,5-6=-1,8-6=2,7-6=1,4-6=-2,9-6=3,5-6=-2,4-6=-2,8-6=2*Bulunan farkların hepsinin karesi alınır ve kareden elde edilen sayılar toplanır.(1)²+(-3)²+(-1)²+(2)²+(1)²+(-2)²+(3)²+(-1)²+(-2)²+2²=38*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınır.

38
10-1
=4,2222

Standart sapma=√4,222…≅2,0548 bulunur.

ÖRNEK 3:Ali’nin Matematik ve Türkçe dersine ait genel durumu verilmiştir.

Matematik

Yazılı puanı: 64

Sınıfın aritmetik ortalaması: 59

Sınıfın Standart sapması: 16

Türkçe

Yazılı puanı : 81

Sınıfın aritmetik ortalaması: 76

Sınıfın standart sapması: 20

ÇÖZÜM 3:

Öğrencinin hangisinden daha başarılı olduğunu bulmak için z ve T puanları bulunur.

 

z=
Dönüştürülecek puan−Aritmetik Ortalama
Standart Sapma

 

olduğundan,

Matematik,

 

z puanı:
64−59
16
=0,3125

 

T puanı, T=10z+50 ise T=53,125’tir.

Türkçe,

 

z puanı=
81−76
20

 

T=10z+50=52,5

T puanı daha büyük olan derste daha başarıldır. Yani Ali matematik dersinde daha başarılıdır.

Merkezi Yayılım ve İstatistik İle İlgili Konu Anlatım Videoları:


 

 

 

 

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya girin

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.