2020 KPSS RASYONEL SAYILAR


Bu notumuzda KPSS Matematiğin altıncı konusu olan Rasyonel Sayılar konusunu ele aldık. Sizler için en geniş ve kapsamlı notları bir araya getirdik. KPSS Rasyonel Sayılar PDF, konu anlatım video ve resimli anlatımlarla destekledik. Şimdiden Allah zihin açıklığı versin 🙂

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, 

 şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı denir.

NOT: Sizlere daha iyi ve güncel ders notu sunabilmek için kendimizi sürekli yeniliyoruz. Sizlerde son eklenen güncel ders notları ve eğitim haberlerinden anında haberdar olmak istiyorsanız sitemize Üye Olarak bildirimlerden anında haberdar olabilirsiniz.
ÜYE OLMAK İÇİN TIKLAYIN

 

 

B. KESİR

Bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya bir kaçını göstermeye yarıyan sayılara kesir denir.

C. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

 

 

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar basit kesirdir.

 pozitif basit kesir ise,

      

 

 

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

 

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar bileşik kesirdir.

 

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

 birer tam sayılı kesirdir.

 

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

 

 

D. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

 kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

      

 

2. Denk Kesirler

 kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle  ye eşit pek çok kesir elde edilebilir. Bu kesirler  ye denktir denir.  kesri,  kesrine denk ise,  biçiminde yazılır, “a bölü b kesri c bölü d kesrine denktir” diye okunur.

Her denk kesir aynı zamanda eşittir. Buna göre,

      

 

3. Toplama – Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

• 

 

• 

 

4. Çarpma – Bölme İşlemi

• 

• 

 

5. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3) Çarpma – bölme yapılır.

4) Toplama – çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma işlemi kendi arasında öncelik taşımaz. Aynı şekilde çarpma ile bölme işlemi de kendi arasında öncelik taşımaz. Özelikle çarpma ile bölme de öncelik söz konusu ise bu parantezle belirlenmiştir.

 

 

E. ONDALIK KESİR

1. Ondalık Kesir

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

 

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.

• 

• 

• 

 

3. Ondalık Kesirlerde İşlemler

a. Toplama – Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.

 

4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Bir devirli ondalık açılımı  şeklinde yazarken;

Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.

Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.

a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

• 

• 

• 

• 

• 

 

 

F. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

1. Yol

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

2. Yol

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

3. Yol

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, pozitif basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

a ve n doğal sayı olsun.

n sabit iken a büyüdükçe  basit kesrinin değeri artar.

 

a ve n doğal sayı olsun.

n sabit iken a büyüdükçe  bileşik kesrinin değeri azalır.

 

 

G. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

 arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin e.k.o.k. u bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan e.k.o.k. da eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Ü

 kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

 

TANIM
a ve b tam sayı, \frac{a}{b} olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.

kesir çizgisi \leftarrow\frac{a\rightarrow pay}{b\to payda}

\frac{0}{b}=0   dir. (b\neq0)

\frac{a}{0}   tanımsızdır.

KESİR
Bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya bir kaçını göstermeye yarayan sayılara kesir denir.

KESİR ÇEŞİTLERİ
1. Basit Kesir: İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

\frac{a}{b}   basit kesir ise, -1<\frac{a}{b}<1  dir.

Aşağıdaki doğruda koyu yere denk gelen sayılara basit kesir denir.

konu_rasyonel_sayilar_1

Not: \frac{a}{b} pozitif basit kesir ise, \frac{a}{b}>\frac{ a^{2}}{b^{2}}>\frac{a^{3}}{b^{3}}>...  dır.

Bileşik Kesir: İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir. Bileşik kesirler tam sayılı kesir diye de adlandırılabilir. Tam sayılır kesir, önde tam sayı olan kesirdir.

Aşağıdaki doğruda koyu gösterilen yere denk gelen sayılara bileşik kesir denir.

konu_rasyonel_sayilar_2

Tam Sayılı Kesir: Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

2\frac{3}{4} 5\frac{1}{3}    birer tam sayılı kesre örnektir.

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

a\frac{b}{c}=a+\frac{b}{c}=\frac{a.c+b}{c}

-a\frac{b}{c}=-\frac{a.c+b}{c}

RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER:
Kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

1. Genişletme ve Sadeleştirme

\frac{a}{b}   kesrinin;

\frac{a}{b}=\frac{a.k}{b.k} k\neq0    (kesrin genişletilmesi)

\frac{a}{b}=\frac{a:k}{b:k} k\neq0    (kesrin sadeleştirilmesi)

2. Denk Kesirler

Kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle \frac{a}{b} ye eşit pek çok kesir elde edilebilir. Bu kesirler \frac{a}{b} ye denktir denir. \frac{a}{b} kesri, \frac{c}{d} kesrine denk ise, \frac{a}{b}\equiv \frac{c}{d} biçiminde yazılır, “a bölü b kesri c bölü d kesrine denktir” diye okunur.

Her denk kesir aynı zamanda eşittir. Buna göre,

\frac{a}{b}\equiv \frac{c}{d} ise, \frac{a}{b}=\frac{c}{d}   ise  a.d=b.c   dir.

3. Toplama – Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\pm c}{b}

\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a.d\pm c.b}{b.d}

4. Çarpma – Bölme İşlemi

1) \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}

2) \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}

3) \frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a.c}{b}

4) \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b.c}

NOT:  a\frac{b}{c}=\frac{a.c+b}{c}  iken  a.\frac{b}{c}=\frac{a.b}{c}  dir.

İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3) Çarpma – bölme yapılır.
4) Toplama – çıkarma yapılır.

NOT: Toplama ile çıkarma işlemi kendi arasında öncelik taşımaz. Aynı şekilde çarpma ile bölme işlemi de kendi arasında öncelik taşımaz. Özelikle çarpma ile bölme de öncelik söz konusu ise bu parantezle belirlenmiştir.

ONDALIK KESİR

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

1. Ondalık Kesir

\frac{abcd}{1000}=a,bcd=a+\frac{b}{10}+\frac{c}{100}+\frac{d}{1000} dir.
Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.

konu_rasyonel_sayilar_3

3. Ondalık Kesirlerde İşlemler:

a. Toplama – Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Bir devirli ondalık açılımı \frac{a}{b} şeklinde yazarken;
Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.
Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.
a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,

konu_rasyonel_sayilar_4

Not: Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

konu_rasyonel_sayilar_5

RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

1. Yol

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

2. Yol

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

3. Yol

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, pozitif basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

a ve n doğal sayı olsun.n sabit iken a büyüdükçe \frac{a+n}{a} bileşik kesrinin değeri  azalır.

İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

Arasında sayılamayacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin e.k.o.k. u bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan e.k.o.k. da eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

x sayısı kesirlerinin \frac{a}{b}  ile  \frac{c}{d} ortasındaki bir sayı ise,

konu_rasyonel_sayilar_6

x=\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}  dir.

NOT: a ve n doğal sayı olsun; n sabit iken a büyüdükçe \frac{a}{n} basit kesrinin değeri artar.

a ve b birer tamsayı ve b ‚ 0 olmak uzere,  şeklindeki ifadelere kesir, a sayısına kesrin payı, b sayısına ise kesrin paydası denir.

Toplama ve Çıkarma:

Kesirler arasında toplama ve çıkarma yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.

Çarpma:

Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Ancak işlem kolaylığı için (varsa) öncelikle sadeleştirme yapılmalıdır.

Bölme:

İki kesir birbirine bölünürken (ikinci kesir sıfırdan farklı olmak şartıyla) ilk kesir aynen alınır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.













Paydası 10 un pozitif tamsayı kuvvetleri olan kesirlere  denir.

Toplama ve Çıkarma:

Ondalık sayılarda toplama veya çıkarma yapılırken virgüller alt alta getirilir, virgülden sonra (varsa) eksik basamaklar sıfır ile tamamlanır.

Çarpma:

Sayılar virgüle bakılmaksızın çarpılır. Tüm çarpanlarda virgülden sonra toplam kaç basamak varsa, bulunan sonucun sağından başlanarak aynı adette basamak sayılarak virgül yerleştirilir.

Bölme:

Virgülden sonraki basamak sayılarını eşitlemek için eksik basamaklar sıfır ile tamamlanır. Ardından virgüllere bakılmaksızın bölme yapılır.

Devirli Ondalık Sayılar:

Bu tür ondalık açılımlara devirli ondalık açılım denir.
Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı mutlaka vardır. O halde, tersten düşünülürse, her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı biçiminde ifade edilebilir.

Devirli ondalık sayılarda tekrarlayan rakam veya sayı grubunu sonsuza kadar yazmak yerine, bu rakam veya sayı grubunun üzerine devir çizgisi konulabilir.
Pay kısmı yazılırken devirli ondalık sayıda virgül yokmuş gibi düşünülür. Payda yazılırken ise sadece virgülden sonrası dikkate alınır.

Devirli ondalık sayılarda devreden kısım 9 ise, 9 silinerek bir önceki basamaktaki rakamın değeri 1 artırılır.

 arasında eldesiz toplama ve çıkarma işlemleri yapılabilir.






Pozitif :

1. Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan kesir diğerlerinden daha büyüktür.


2. Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.
3. Basit kesirlerde pay ile payda arasındaki farklar eşitse, payı (veya paydası) büyük olan sayı
diğerlerinden büyüktür.
Bileşik kesirlerde pay ile payda arasındaki farklar eşitse payı (veya paydası) küçük olan sayı diğerlerinden büyüktür.

4. Rasyonel sayıların ondalık veya devirli ondalık açılımları karşılaştırılarak sayılar arasındaki sıralama yapılabilir.


Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama:

 

Sayılar arasında pozitif sıralama yapılır, yapılan sıralamanın tersi alınır.

Rasyonel Sayılar Konu Anlatım Videoları


 

1 Yorum

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya girin

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.