Üçgenlerde Eşlik Konu Anlatımlı Ders Notları- PDF -2020

NOT: Konu ile ilgili PDF, Çıkmış Soru Çözümleri ve Konu anlatım videoları sayfanın en alt kısmındadır.

 

# İki üçgenin karşılıklı kenarının uzunlukları ve açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir.

# İki üçgenin eşliği “≅” sembolü ile gösterilir. Sembolle gösterirken eş olan açılar aynı sırada yazılmalıdır.

Üçgenlerde Eşlik

NOT: Sizlere daha iyi ve güncel ders notu sunabilmek için kendimizi sürekli yeniliyoruz. Sizlerde son eklenen güncel ders notları ve eğitim haberlerinden anında haberdar olmak istiyorsanız sitemize Üye Olarak bildirimlerden anında haberdar olabilirsiniz.
ÜYE OLMAK İÇİN TIKLAYIN

 

ÜÇGENLERDE EŞLİK ŞARTLARI

İki üçgenin karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları ve tüm açılarının ölçüleri eşitse bu iki üçgen eştir. Ancak iki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman verilmeyebilir. Böyle durumlarda bu kısıtlı verilere bakarak da biz iki üçgenin eş olup olmadığına kanaat getirebiliriz. Bunun için aşağıdaki eşlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen eştir diyebiliriz.

1) Kenar – Kenar – Kenar Eşlik Şartı (KKK)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Kenar – Kenar – Kenar (KKK) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar eşlik şartına göre eştir.

Kenar-Kenar-Kenar Eşlik Şartı

2) Kenar – Açı – Kenar Eşlik Şartı (KAK)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer kenar uzunlukları ve bu iki kenar arasında kalan açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Kenar – Açı – Kenar (KAK) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Kenar eşlik şartına göre eştir.

Kenar-Açı-Kenar Eşlik Şartı

3) Açı – Kenar – Açı Eşlik Şartı (AKA)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer açılarının ölçüleri ve bu iki açı arasında kalan kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Açı – Kenar – Açı (AKA) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Açı-Kenar-Açı eşlik şartına göre eştir.

Açı-Kenar-Açı Eşlik Şartı

4) Kenar – Açı – Açı Eşlik Şartı (KAA)

# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında ikişer açılarının ölçüleri ve bu açılardan herhangi birinin karşısındaki kenarın uzunlukları eşit ise bu üçgenler eş üçgenlerdir. Buna; Kenar – Açı – Açı (KAA) eşlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Açı eşlik şartına göre eştir. Kenar-Açı-Açı Eşlik Şartı

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

# İki üçgenin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

# İki üçgenin benzerliği “∼” sembolü ile gösterilir. Sembolle gösterirken eş olan açılar aynı sırada yazılmalıdır.

# Benzer iki üçgende karşılıklı kenarları oranlarsak bu oranlar bir sayıya eşit olur. Bu sayıya benzerlik oranı denir. Genelde k harfi ile gösterilir.

Örneğin aşağıdaki örnekte benzerlik oranı 1/2’dir. Pay ve paydaların yeri değişirse benzerlik oranı 2 olarak da yazılabilir.

Bu, “DEF üçgeninin kenar uzunlukları ABC üçgeninin 2 katıdır.” veya “ABC üçgeninin kenar uzunlukları DEF üçgeninin yarısıdır.” anlamına gelir.

Üçgenlerde Benzerlik

ÜÇGENLERDE BENZERLİK ŞARTLARI

İki üçgenin tüm kenarları ve tüm açıları her zaman verilmeyebilir. Böyle durumlarda bu kısıtlı verilere bakarak da biz iki üçgenin benzer olup olmadığına kanaat getirebiliriz. Bunun için aşağıdaki benzerlik şartlarını kullanırız. Eğer iki üçgen arasında bu şartlardan biri sağlanıyorsa bu iki üçgen benzerdir diyebiliriz.

1) Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Şartı (KKK)
# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı kenar uzunluklarının oranı birbirine eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Buna; Kenar – Kenar – Kenar (KKK) benzerlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar benzerlik şartına göre benzerdir.

Kenar-Kenar-Kenar Benzerlik Şartı

2) Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Şartı (KAK)
# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı ikişer kenar uzunluklarının oranı ve bu iki kenar arasında kalan açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler benzerdir üçgenlerdir. Buna; Kenar – Açı – Kenar (KAK) benzerlik şartı denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Kenar-Açı-Kenar benzerlik şartına göre benzerdir.

Kenar-Açı-Kenar Benzerlik Şartı

3) Açı – Açı Benzerlik Şartı (AA)
# İki üçgen arasında birebir eşleme yapıldığında karşılıklı iki açılarının ölçüleri birbirine eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Buna; Açı – Açı (AA) benzerlik şartı denir. İki açıları eş olduğu için üçüncü açıları da eştir. Bu yüzden bu şarta Açı – Açı – Açı (AAA) benzerlik şartı da denilebilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki iki üçgen Açı-Açı benzerlik şartına göre benzerdir.

Açı-Kenar-Açı Benzerlik Şartı

EŞLİK VE BENZERLİK İLE İLGİLİ
# Her eş üçgen aynı zamanda benzerdir, ancak her benzer üçgen eş olmak zorunda değildir.

# Eş üçgenler benzerlik oranı 1 olan benzer üçgenlerdir.

# İki üçgenin benzerlik oranı k ise çevreleri oranı da k’dır.

# İki üçgenin benzerlik oranı k ise karşılıklı yükseklikleri, açıortayları, kenarortayları oranı da k’dır.

# İki üçgenin benzerlik oranı k ise alanları oranı da k2‘dir.

ÖRNEKLER: Aşağıdaki üçgenlerde x ile gösterilen uzunlukları bulalım.

ÜÇGENDE BENZERLİK

Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

\displaystyle \left. \begin{array}{l}m(\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,)=m(\overset{\wedge }{\mathop{D}}\,)\\m(\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,)=m(\overset{\wedge }{\mathop{E}}\,)\\m(\overset{\wedge }{\mathop{C}}\,)=m(\overset{\wedge }{\mathop{F}}\,)\end{array} \right\}\text{  }\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

\displaystyle \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k

eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik katsayısı denir.

k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

ABC\sim DEF\Rightarrow \frac{{|AB|}}{{|DE|}}=\frac{{|AC|}}{{|DF|}}=\frac{{|BC|}}{{|EF|}}

Açı – Açı Benzerlik Teoremi

Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerde

\displaystyle \left. \begin{array}{l}m(\overset{\wedge }{\mathop{A}}\,)=m(\overset{\wedge }{\mathop{D}}\,)\\m(\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,)=m(\overset{\wedge }{\mathop{E}}\,)\end{array} \right\}\text{  }ABC\sim DEF

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m(C)=m(F)

\displaystyle \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}

Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.

BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi

İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

\displaystyle \left. {\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}} \right\}\text{ ABC}\sim \text{DEF}

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.

m(A) = m(D),

m(B) = m(E),

m(C) = m(F)

Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş olacağından ADE ~ ABC dir.

\frac{{|AD|}}{{|AB|}}=\frac{{|AE|}}{{|AC|}}=\frac{{|DE|}}{{|BC|}}

Buradan da

\frac{{|AD|}}{{|DB|}}=\frac{{|AE|}}{{|EC|}}

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1 birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]

|AK|=2|KB|, |AL|=2|LC|

Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için

\frac{{|AB|}}{{|BC|}}=\frac{{|DE|}}{{|EF|}}

\frac{{|AB|}}{{|AC|}}=\frac{{|DE|}}{{|DF|}}

[AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan,

\frac{{|AB|}}{{|DE|}}=\frac{{|AC|}}{{|CE|}}=\frac{{|BC|}}{{|CD|}}

eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

ABC ~ DEF ise

\displaystyle \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k

Burada k ya benzerlik oranı denir.

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

\displaystyle \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k\text{ }=\frac{{{{h}_{a}}}}{{{{h}_{d}}}}=\frac{{{{h}_{b}}}}{{{{h}_{e}}}}=\frac{{{{h}_{c}}}}{{{{h}_{f}}}}

Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

\displaystyle \frac{{{{V}_{a}}}}{{{{V}_{d}}}}=\frac{{{{V}_{b}}}}{{{{V}_{e}}}}=\frac{{{{V}_{c}}}}{{{{V}_{f}}}}=k

Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

\displaystyle \frac{{{{n}_{a}}}}{{{{n}_{d}}}}=\frac{{{{n}_{b}}}}{{{{n}_{e}}}}=\frac{{{{n}_{c}}}}{{{{n}_{f}}}}=k

Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

\frac{{C(ABC)}}{{C(DEF)}}=k

ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapı , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı  ve çevrel çemberin yarıçapı  olsun.

\displaystyle \frac{{{{r}_{{ABC}}}}}{{{{r}_{{DEF}}}}}=\frac{{{{R}_{{ABC}}}}}{{{{R}_{{DEF}}}}}=k

Alanlar oranı

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

\frac{{A(ABC)}}{{A(DEF)}}={{k}^{2}}

Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

[AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

\frac{1}{{|EF|}}=\frac{1}{{|AB|}}+\frac{1}{{|DC|}}

|AB|.|FC|=|DC|.|BF|

 

Özel Teoremler

Menelaüs

ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

\frac{{|KB|}}{{|KC|}}\cdot \frac{{|MC|}}{{|AM|}}\cdot \frac{{|AL|}}{{|LB|}}=1

\frac{{|AM|}}{{|AC|}}\cdot \frac{{|BC|}}{{|KB|}}\cdot \frac{{|KL|}}{{|LM|}}=1

Seva

ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

\frac{{|KB|}}{{|KC|}}\cdot \frac{{|LC|}}{{|LA|}}\cdot \frac{{|MA|}}{{|MB|}}=1

Üçgende Benzerlik Çözümlü Çıkmış Sorular:


Soru Pdf İndir

 

 

Üçgenlerde Eşlik Nedir?

İlk önce üçgenlerde eşliğin tanımını yapalım. Kısaca tanımlamak gerekirse iki üçgenin karşılıklı açılarının ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşit ise eş üçgenler denir.

İki üçgenin eş olması için karşılıklı bütün açılarının ölçüleri ve karşılıklı bütün kenarlarının uzunlukları eşit olması gerekir. Fakat her zaman iki üçgenin açı ve kenar uzunlukları verilmeyebilir. Bu durumda bazı eşlik şartları bu üçgenlere uygulanarak eş üçgen olup olmadıkları tespit edilir.

Üçgenlerin eşlik şartlarına baktığımızda karşımıza üç kural geliyor. Bu şartlardan herhangi biri sağlanıyorsa iki üçgenin eş olduğuna kanaat getirilir.

Eşlik sembolü şöyledir; “≅”

Eşlik Kuralları ve Özellikleri

  • Eş iki üçgenin karşılıklı açıları eşittir.
  • Eş iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
  • Eş iki üçgenin karşılıklı kenarortayları eştir.
  • Eş iki üçgenin karşılıklı açıortayları eştir.
  • Eş iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri eştir.

İki Üçgenin Eşlik Koşulları

İki üçgenin eş olup olmadığını anlamak için aşağıdaki koşullardan birisini sağlaması gerekir. Yani aşağıdaki üç eşlik şartından birisi geçerli ise iki üçgene eş üçgen denir.

  1. Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.) Eşliği
  2. Açı – Kenar – Açı (A.K.A.) Eşliği
  3. Kenar – Kenar – Kenar (K. K. K.) Eşliği

1. Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.) Eşliği

İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu ile bu iki kenarın oluşturduğu açılar eşit ise olduğu durumlarda iki üçgen eştir. Bu eşlik durumunda Kenar – Açı – Kenar (K. A. K.) eşliği denir.

Yukarıdaki resimde de görüleceği üzere

|AB| = |DE|
m(A) = m(D)
|AC| = |DF|

ABC ve DEF üçgenleri eştir. Çünkü ikişer kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açıları karşılıklı olarak bire bir eşleşmektedir. ABC ile DEF üçgenleri eştir ve ABC ≅ DEF şeklinde yazılır.

2. Açı – Kenar – Açı (A.K.A.) Eşliği

İki üçgende karşılık iki açının eşit olduğu ve bu iki açının arasındaki kenar uzunluklarının eşit olduğu durumlarda üçgenler eştir. Bu eşlik durumuna Açı – Kenar-Açı (A . K . A) eşliği denir.

Yukarıdaki resimde de görüleceği üzere;

m(B) = m(E)
|BC| = |EF|
m(C) = m(F)

ABC ve DEF üçgenleri eştir. Çünkü bu iki üçgenin karşılıklı açıları eşittir ve bu açılar arasında kalan |BC| ve |EF| uzunlukları da aynıdır.

3. Kenar – Kenar – Kenar (K. K. K.) Eşliği

İki üçgenin her bir kenarının karşılıklı olarak birbirine eş olması durumudur.  Bu eşlik durumuna Kenar – Kenar – Kenar (K. K. K.) eşliği denir.

Yukarıdaki resimde de görüleceği üzere;

|AB| = |DE|
|AC| = |DF|
|BC| = |EF|

Üçgenlerde Eşlik İle İlgili Sorular

Bu konuda öğrendiklerimizi sorularla pekiştirelim. Yukarıdaki sorulara cevap verebiliyorsanız, konuyu anlamışsınız demektir.

Konu Anlatım Pdf İndir

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya girin

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.