Üçgen geometrinin temelidir. Üçgenin alanını hesaplayabilmek, geometrideki bütün alan sorularını yapmanın anahtarıdır. Bu nedenle bu yazıda üçgenin alanı nasıl bulunur onun üzerinde duracağız. 6. sınıf matematik dersinden başlayarak bütün eğitim hayatımız boyunca üçgenin alanı bize çok lazım olacaktır.

NOT: Sizlere daha iyi ve güncel ders notu sunabilmek için kendimizi sürekli yeniliyoruz. Sizlerde son eklenen güncel ders notları ve eğitim haberlerinden anında haberdar olmak istiyorsanız sitemize Üye Olarak bildirimlerden anında haberdar olabilirsiniz.
ÜYE OLMAK İÇİN TIKLAYIN

 

Bu nedenle konuyu iyi öğrenmeye özen göstermeliyiz. Öncelikle belirtelim ki üçgenin alanını hesaplamak geometrideki en kolay şeydir. Basit bir formülü uygulamak yetecektir.

Konuyu detaylıca öğrenmek isteyenler için üçgenin alanı adlı konu anlatımını hazırladık. Vakti olmayanlar için basitçe üçgenin alanı formülünü verelim.

Üçgenin Alanı Formülü

Üçgenin alanının bir tane formülü vardır. Kenar x yükseklik / 2 formülüyle üçgende alan sorularını kolaylıkla ve yapabilirsiniz. Burada dikkat etmeniz gereken en önemli şey yüksekliğin o kenara ait olmasıdır. Üçgen içerisinde herhangi bir kenarı seçip o kenara ait yükseklikle çarpıp ikiye bölüyorsunuz.

Üçgenin kenarına a ve a kenarına ait yüksekliğe h dersek, alan formülü Alan = a.h / 2 olur.

üçgenin alanı nasıl bulunur

Yukarıdaki görselde üçgenin alanı formülü verilerek basitçe ne işlem yapacağımız görselleştirilmiştir.

Şunu belirletim ki dik üçgende zaten iki kenar birbirine dik olduğu için dik kenarları çarpıp ikiye bölmek yeterlidir. İçeriden ekstra bir yükseklik çizmeye gerek yoktur. Basit bir örnek yapalım.

Örnek: Aşağıdaki resimde 3m ve 4m şeklinde uzunluğu verilen üçgenin alanı kaç m2 olur?

üçgenin alanı örnek

Çözüm: Çok basit. Dik kenarları çarparız ve ikiye böleriz. 3.4 / 2 = 12 / 2 = 6 m2 olur.

Eşkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur?

Yukarıda verdiğimiz formülle bütün alan soruları çözülebilir. Ancak özel üçgenlerde bize yükseklik vermeyebilir. Bu durumda yüksekliği kendimiz çizip Pisagor bağıntısıyla bulmamız gerekecektir.

Eşkenar üçgende üç kenar uzunluğu da eşit olduğu için, üç kenara ait yüksekliklerin uzunluğu eşittir. Aynı zamanda kenar uzunluğu ile yükseklik arasında da sabit bir oran vardır. Bu nedenle sadece bir kenarı bilinen bir eşkenar üçgenin alanı rahatlıkla bulunabilir.

Kenar uzunluğu a olan bir eşkenar üçgenin alanı formülü Alan = a2.√3 / 4 şeklindedir.

Yani bir kenar uzunluğu 8 cm olan bir üçgenin alanı 64.√3 / 4 = 16√3 cm2 olacaktır.

İkizkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur?

İkizkenar üçgen iki kenar uzunluğu eşit olan üçgendir. Üçgenin üçüncü kenarının ise uzunluğu farklıdır.

Eğer üç kenar uzunluğu da verilmişse o zaman uzunluğu farklı olan kenara yükseklik çizilir. Çizilen yükseklik aynı zamanda kenarortay da olacağına göre kenarı iki eş parçaya ayıracaktır. Bu durumda Pisagor bağıntısı kullanılarak yükseklik bulunur. Ardından da formül uygulanır.

Not: Yüksekliğin verilmediği durumlarda yüksekliği kendimiz çizip Pisagor bağıntısı ile uzunluğunu hesaplamalıyız.

Çeşitkenar Üçgenin Alanı

Çeşitkenar üçgen üç kenar uzunluğu da farklı olan üçgendir. Çeşitkenar üçgenin alanını hesaplamak için herhangi bir kenarın uzunluğunu ve o kenara ait yüksekliği bilmemiz yeterlidir. Yukarıda verdiğimiz formül bütün üçgenler için geçerlidir.

Fakat çeşitkenar üçgenin üç kenar uzunluğunu da bilmemize rağmen herhangi bir yükseklik bilmiyorsak o zaman alanı bulmak için şu adımları takip ederiz:

  1. Üçgenin üç kenarını toplayarak çevresini bul. (Üçgenin alanı nasıl bulunur biliyorsunuz zaten.)
  2. Bulduğun çevreyi ikiye böl ve çıkan sonucu bir harfe eşitle. (Mesela u harfi olsun.)
  3. Kenarları a, b, c olan üçgen için Alan = √(u(u-a)(u-b)(u-c)) formülünü uygula.

Bir örnekle pekiştirelim. Kenar uzunlukları 6, 8 ve 10 cm olan üçgenin alanını bulalım.

Çevreyi 6 + 8 + 10 = 24 cm olarak buluruz. Çevrenin yarısı 24 / 2 = 12’dir. (u = 12)

Öyleyse alan = √(12(12-6)(12-8)(12-4)) = √(12.6.4.8) = √2304 = 48 cm2 bulunur.

Genel Alan Bağıntısı

ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]

Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.
Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir.

2. Dik Üçgende Alan

Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.

3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;

ABC üçgenindem(ABC) = a|AB| = c|BC| = a

a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;

eşitliği vardır.
b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.
c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır.ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.
4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + cÇevrenin yarısına u dersek

5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.
Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.

A(ABC)=u.r

Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler

ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|
6.Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun.

  • Orta Dikme
Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir.[EA, a kenarının[FO, b kenarının[DO, c kenarının

orta dikmeleridir.

O noktası çevrel çemberin merkezidir.

7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.
8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir.ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır.

Üçgenin Alanı Konu Anlatımı 3


Üçgende alan geometrinin en önemli konularından biridir. Çünkü alan hesabı geometrinin diğer konularında da vardır ve üçgenin alanı bunun başlangıcıdır. Bir üçgenin alanı herhangi bir kenara ait yükseklikle o kenarın uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.

üçgenin alanı

Şekildeki ABC üçgeninde alan |BC|.|AH|/2 şeklinde olur. |BC| kenarı 8 birim, yüksekliği olan |AH| kenarı da 4 birim olduğu için alan 8.4/2 = 16 birim2 bulunur. Şekildeki dörtgenin alanı için de iki kenarı çarpmamız yeterli olacaktı. Bunu dörtgenler konusunda daha iyi göreceğiz. Ancak üçgenin içinde bulunduğu dörtgenin alanın yarısı olması neden 2’ye böldüğümüzü göstermesi açısından önemlidir.

Dikkat ederseniz her kare kenarına 1 birim uzunluk verilmiştir. Üçgenin alanı taralı alanlardan oluşmaktadır. Bütün dikdörtgenin alanını sayarsanız 32 kare üçgen içindeki taralı alanları sayarsanız da 16 kare bulursunuz. Bu da formülümüzün görsel ispatı olmaktadır.

Üçgende alan hesaplarken hangi kenarı seçtiğinizin önemi yoktur. Önemli olan seçtiğiniz kenar ile o kenara ait yüksekliği çarpmanızdır. Bu yükseklik üçgen içinde olabileceği gibi üçgen dışında da olabilmektedir.

Üçgensel Bölgenin Alanı

Bir düzlemde var olan herhangi bir üçgensel bölgenin alanını hesaplarken farklı yöntemlerle alan hesabı yapabiliriz. Örneğin bir üçgeni iki farklı üçgensel bölgeye ayırıp alanları toplamını bulmamız da üçgenin alanını bulmamız için yeterlidir.

üçgensel bölgenin alanı

Yukarıdaki üçgende |AF| doğru parçasını çizersek üçgeni iki üçgensel bölgeye ayırırız. Bu durumda iki küçük üçgende kenarlara ait yükseklikler belli olduğu için alan hesabı daha kolay olacaktır. Sonuçta üçgenin alanı: 8.3/2 + 10.5/2 = 37 olacaktır.

Dik Üçgende Alan

Dik üçgen için alan hesabı yapmak çok kolaydır. Zaten bir kenar ve o kenara ait yükseklik üçgen içerisinde mevcuttur. Dik kenarların çarpımının yarısı bize dik üçgenin alanını verir. Bununla birlikte bir örnek yapalım. Örneği çözerken de dik üçgenle ilgili bildiklerimizi hatırlayalım.

dik üçgende alan

Soru: Dik ABC üçgeninde |AC| = 12 cm, |BC| = 13 cm uzunluğundadır. Buna göre bu üçgenin alanını bulunuz.

Çözüm: Bir dik üçgenin alanını bulmak için iki dik kenarın uzunluğuna ihtiyacımız vardır. Ancak bu örnekte bir dik kenar uzunluğu ile birlikte hipotenüs uzunluğu verilmiştir. Eksik dik kenarın uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla elde ederiz. Burada hesaplamaya bile gerek duymadan 5-12-13 özel üçgeni olduğu bilgisini kullanırız. Bu durumda |AB| kenarının uzunluğunun 5 cm olduğunu elde ederiz.

Çözümün ikinci adımı ise yine çok kolaydır. Dik kenarlardan birinin uzunluğu 5 cm, diğerinin 12 cm ise alan = 5.12/2 = 30 cm2 olur.

Üçgenin alanı sadece alan hesaplamak için kullanılmaz. Bazen uzunluk bilgisini de alan bilgisini kullanarak elde edebiliriz. Şimdi de bununla ilgili bir örnek yapalım.

dik üçgende alan sorusu

Yukarıdaki üçgende iki kenar uzunluğu 6 cm ve 8 cm olarak verilmiştir. Buna göre hipotenüse indirilen dikme uzunluğu x ne kadardır?

Çözüm: Burada üçgenin alanının her iki taraftan da aynı çıkacağı bilgisini kullanmalıyız. Soruyu 4 adımda çözebiliriz.

  1. Üçgenin alanı 6.8/2 = 24 olur.
  2. Pisagor bağıntısından 6-8-10 üçgeni ile |BC| kenarı 10 cm bulunur.
  3. 10.x/2 = 24 eşitliği alandan dolayı kurulur.
  4. x = 4,8 cm bulunur.

Geniş Açılı Üçgenin Alanı

Geniş alanı üçgende de alan aynı şekilde hesaplanır. Ancak bu üçgende yüksekliği görmek temel düzeyde geometri yeteneği gerektirebilir. Çünkü yükseklik çoğunlukla üçgenin dışında yer almaktadır. Geniş açıyı oluşturan kenarlara ait yükseklikler dışarıdan çizilmektedir.

geniş açılı üçgende alan

Yukarıdaki üçgende alan 8.5/2 = 20 olur. Yüksekliğin içerden veya dışarıdan olmasının bir önemi yoktur.

Üçgende alan sorularında her zaman üçgenin alanı sorulmaz. Bazen alan verilip kenar uzunlukları da sorulabilir. Burada yapılması gereken sadece denklemin tersten kurulmasıdır.

Özel Üçgenlerin Alanı

Özel üçgenler işlem yapabileceğim açı ölçülerine veya kenar eşitliklerine sahip üçgenlerdir. Bu üçgenlerde alan hesaplamak için üçgenlere ait özellikleri kullanıp veri elde ederiz.

Eşkenar Üçgenin Alanı

Eşkenar üçgende bütün kenarlar eşit olduğu için sadece bir kenarın uzunluğunu bilmek bize alanı hesaplama konusunda yeterli olacaktır. Bunun için formülü bilmemiz yeterlidir. Ancak formülü vermeden önce bu formülün nerden geldiğini ispatlamalıyız. Eşkenar üçgen konusunda bir kenarı a birim olan üçgenin yüksekliğinden söz etmiştik.

  • Kenar uzunluğu: a birim.
  • Yükseklik uzunluğu: a√3/2
  • Alan = a.(a√3/2)/2 = a2√3/4 elde edilir.

Yukarıda elde edilen formül bütün eşkenar üçgen sorularında alan formülü olarak kullanılabilir. Sadece a yerine üçgenin kenar uzunluğunu koymamız yeterlidir.

Sinüs Alan Formülü

Özel açılı üçgenlerde açıların trigonometrik bağıntılarını biliriz. Bilmesek bile kolaylıkla hesaplayabiliriz. Bu nedenle özel üçgenlerde sinüs alan formülü çok işimize yarar. Bu formül uygulandığında herhangi bir dikliğe ihtiyacımız yoktur.

sinüs alan

Yukarıdaki üçgende alan için herhangi bir dikmeye ihtiyaç yoktur. Kesişen iki kenarın uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünü çarpıp ikiye bölmemiz bize alanı verecektir. Yani yukarıdaki üçgende b.c.Sinα/2 bize alanı verecektir.

Aslına bakarsanız dikliğin olduğu sorularda da aynı formül geçerlidir. Sadece sin90 = 1 olduğu için çarpımda yazılmaz. Yoksa sinüs genel formül içerisinde mutlaka yer alır.

Özel üçgenlerde çeşitli doğru parçaları çizerek daha düzgün üçgenler elde edebiliriz.

özel üçgenin alanı

Yukarıdaki soruda 135 derecelik bir açı barındıran üçgen verilmiştir. Bu açı ölçüsü bir üçgeni özel üçgen yapabilmektedir. Alan için kenar ve o kenara ait yüksekliğe ihtiyaç duyduğumuza göre dikme inerek soruyu çözelim.

özel üçgenin alanı çözümü

|AB| kenarı 6 birim, bu kenara ait dışarıdaki yükseklik de 5 birim bulunur. Bu durumda alan 5.6/2 = 15 br2 bulunur.

Aynı soruyu sinüslü alan formülünden de çözebiliriz. Sin135 = Sin45 = √2/2 bilgisini bilmemiz yeterlidir. Bu durumda alan (6.5√2 ).(√2/2)/2 = 15 bulunur yine. Eğer sinüs alan formülüne ve açıların trigonometrik değerlerine hakimseniz bu tür sorularda çizime dahi ihtiyaç duymayabilirsiniz.

Üçgende Alan Oranları

Eğer iki üçgenin yükseklikleri eşitse alanları oranı taban alanlarının oranına eşittir. Çarpımın genel ilkesi gereği bu böyledir. Bu durum genellikle bölünmüş üçgenlerde karşımıza çıkar.

üçgende alan oranları

Yukarıdaki üçgende ADC üçgeninin alanı ABD üçgenini alanının 4 katı kadardır. Çünkü 8/2 = 4 eşitliği vardır. Yükseklik aynı olduğu için alanlar arasında taban uzunlukları ile orantılı bir durum vardır. Bu soru 1998 yılında üniversite sınavında çıkmıştır. ABD üçgenin alanı 6 cm2 olduğu verilmiş ve ABC üçgeninin alanı sorulmuştur. Oran mantığı ile ADC üçgeni 24 cm2 olacak ve büyük üçgen de 30 cm2olacaktır. Soru bu kadar kolaydır.

Üçgenin Alanı ile İlgili Diğer Kurallar

Üçgende kenarortay, açıortay, ağırlık merkezi gibi kavramlar alan konusunda da etkilidirler.

Kenarortay Alan ilişkisi

Kenarortaylar üçgeni alan açısından eş parçalara bölerler. Zaten kenarın ortalanması demek iki eşit alan ortaya çıkması demektir.

kenarortay alan ilişkisi

Yukarıdaki üçgende üç kenarortay bir araya gelerek üçgeni 6 eş parçaya ayırmıştır. Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesiştiği için ağırlık merkezi de bu konuda ayrıca rol oynar. Aşağıda ağırlık merkezinin üçgeni alan açısından üç parçaya ayrıldığı gösterilmiştir.

ağırlık merkezi alan ilişkisi

Açıortay Alan  İlişkisi

Açıortayda kenar uzunluklarının oranı açıortayın kestiği kenara oranlı bir şekildedir. Dolayısıyla alanlar da bu orandadır. Bir örnek üzerinde bunu daha iyi anlayabiliriz.

açıortay alan ilişkisi

Yukarıdaki şekilde ADC 24 cm2 olduğuna göre ABD kaç cm2 olur?

Soruda açıortay verildiği için 9/6 = 3/2’dir. Alanlar da kenar uzunluklarına göre 3’e 2 olacak şekilde dağılacaktır. Bu durumda ABD = 16 cm2 olur.

Üçgenin Alanı İle İlgili Konu Anlatım Video;


 

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya girin

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.