KÜMELERDE İŞLEMLER 

Konu ile ilgili çıkmış sorular ve çözümleri, konu anlatımı videosu sayfanın alt kısmındadır.

a) Birleşim İşlemi

A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir.
A ∪ B şeklinde gösterilir. A ∪ Bkümesi aşağıdaki şekildeki taralı bölgedir.

Kümelerde birleşim ile ilgili özellikler;

A ∪ A = A (Tek kuvvet özelliği)

A ∪ Ø = A

A ∪ E = E

A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Birleşme özelliği)

A ∪ B = Ø ise A = Ø ve B = Ø dir.

A ⊂ B ise A ∪ B = B dir.

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

b) Kesişim İşlemi

A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir.
A ∩ B şeklinde gösterilir.A ∩ B kümesi taralı bölgedir.

Kümelerde kesişim ile ilgili özellikler;

A ∩ A = A dır. (Tek kuvvet özelliği)

A ∩ Ø = Ø ∩ A = Ø

A ∩ E = E ∩ A = A

A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Birleşme özelliği)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği)

A ⊂ B ? A ∩ B = A

A ? Ø ve B ? Ø olmak üzere,
A ∩ B = Ø ise A ile B kümelerine ayrık kümeler denir.

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

A ile B ayrık kümeler

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

c) Tümleme İşlemi
E, evrensel küme ve A ⊂ E olsun.
Evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni denir ve A^ı ile gösterilir.

Taralı bölge A kümesinin tümleyenidir.

A ∩ A^ı = Ø

A ∪ A^ı = E

Ø^ı = E, E^ı = Ø

(A^ı)^ı = A

s(A) + s(A^ı) = s(E)

A ⊂ B ? B^ı ⊂ A^ı

(A ∪ B)^ı = A^ı ∩ B^ı (De Morgan kuralı)

(A ∩ B)^ı = A^ı ∪ B^ı (De Morgan kuralı)

Kümelerde İşlemler Konu Anlatımı 2

1 ) Kesişim Kavramı:  A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A  B  biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B kümeleri ayrık kümeler ise bu iki kümenin kesişimi boş kümedir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

(A  B) = Ø A ve B ayrık kümelerdir.

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin kesişimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

(A  B) = A A  B

Kesişimin Özellikleri :

• Tek Kuvvet Özelliği:  A  A = A
• Yutan Eleman Özelliği: A   Ø = Ø
• Değişme Özelliği:  A  B = B  A
• Birleşme Özelliği:  (A  B)  M = A  (B  M)

 

2 ) Birleşim Kavramı:  A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve     A  B  biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin eleman sayılarının toplamı A ile B’ nin birleşimlerinin eleman sayısına eşit ise bu kümeler ayrık kümelerdir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

s(A  B) = s(A) + s(B) A ve B ayrık kümelerdir.

Kritik Nokta : A ve B kümelerinin b irleşimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerini kapsar. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

(A   B) = A A  B

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin b irleşimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerini kapsar. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

A  B = Ø (A = Ø ve B = Ø) dir.

Birleşimin Özellikleri :

• Etkisiz Eleman Özelliği : A  Ø = A
• Tek Kuvvet Özelliği : A  A = A
• Değişme Özelliği:   A  B = B  A
• Birleşme Özelliği:  (A  B)  M = A  (B  M)

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

Dağılma Özellikleri: 

1 ) Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C) dir.

Bu özelliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.

(A ∪ B ) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.

 

Kritik Nokta: Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır denir.

2 ) Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.

(B ∩ C ) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) dır.

Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir.

3 ) Fark Kavramı:   A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A / B biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, A/B kümesinin elemanı var fakat B/A kümesinin hiç elemanı yoksa B kümesi A kümesinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

s(A/B) ≠ 0 , s(B/A) = 0 A  B dir.

Farkın Özellikleri:

• A / A = Ø , A / Ø = A , Ø / A = Ø
• A / B ≠ B / A
• (A / B )  B = A  B
• A / (B  C) = (A / B )  (A/ C)
• A / (B  C) = (A / B )  (A/ C)

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

4 ) Tümleyen Kavramı: Bir kümenin dışında kalan elemanların oluşturduğu kümeye bu kümeni tümleyeni denir.

A kümesinin tümleyeni A‘ veya Ā ile gösterilir.

Kritik Nokta: Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni yine kendisine eşittir.         (A‘)‘ = A

Kritik Nokta: B kümesi A kümesinin alt kümesi ise B kümesinin tümleyeni de A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

B  A B’  A‘ dir.

Tümleyenin Özellikleri:

• E‘ = Ø , Ø’ = E
• s(A) + s(A‘) = E
• A  A‘ = E , A  A‘ = Ø
• E   A‘ = E , E  A‘ = A‘

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

De Morgan Kuralı
A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yapılan birleşim, kesişim ve tümleme işlemleri arasında De Morgan kuralları vardır.
Buna göre,

(A B )‘ = A‘  B‘ , (A  B )‘ = A‘  B‘

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A  B ) = s(A) + s( B ) – s(A  B )

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

s(A  B  C) = s(A) + s( B ) + s(C) – s(A  B) – s(A  C) – s(B  C) + s(A  B  C)

 

s(A  B ) = s(A – B ) + s(A  B ) + s(B – A)

a + b + c + d tane telefon sahibinin bulunduğu bir binada V hattını kullananların sayısı s(V) = b + c,

T hattını kullananların sayısı s(T) = a + b,

V ve T hattını kullananların sayısı s(T  V) = b olsun.

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

 T ve V hattını kullananların sayısı: a + b + c

 Sadece T hattını kullananların sayısı: a

 Sadece V hattını kullananların sayısı: c

 T hattını kullanmayanların sayısı: c + d

 V hattını kullanmayanların sayısı: a + d

 Bu iki hattan en az  birini kullananların sayısı: a + b + c

 Bu iki hattan en çok birini kullananların  sayısı: d + a + c

 Bu iki hattan hiç birini kullanmayanların sayısı: d

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

Kümelerde Temel İşlemler çıkmış soru çözümleri

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

⇓ KÜMELERDE İŞLEM PDF DERS NOTU SAYFANIN ALT KISMINDADIR. ⇓

Kümelerde İşlemler PDF Kaynaklar

1. Elf Yayınları 9. Sınıf Matematik PDF Ulaşmak için TIKLAYINIZ. Via: elfyayinlari.com
2. Alparslan Ceran Kümeler PDF Ulaşmak için TIKLAYINIZ. Via: alparslanceran.com.tr
3. Sonuç Yayınları Kümeler PDF Ulaşmak için TIKLAYINIZ. 

 

Konu ile ilgili konu anlatımlı videolar;

---

 

Değerli okurumuz 9.sınıf matematik dersi kümelerde temel kavramlar konu anlatımımızın sonunda geldik bir sonraki 9.sınıf matematik dersimizde görüşmek dileğiyle.