KÜMELERDE İŞLEMLER 

Konu ile ilgili çıkmış sorular ve çözümleri, konu anlatımı videosu sayfanın alt kısmındadır.

a) Birleşim İşlemi

A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir.
A ∪ B şeklinde gösterilir. A ∪ Bkümesi aşağıdaki şekildeki taralı bölgedir.kümeler birleşim

Kümelerde birleşim ile ilgili özellikler;

A ∪ A = A (Tek kuvvet özelliği)

A ∪ Ø = A

A ∪ E = E

A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Birleşme özelliği)

A ∪ B = Ø ise A = Ø ve B = Ø dir.

A ⊂ B ise A ∪ B = B dir.

b) Kesişim İşlemi

A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir.
A ∩ B şeklinde gösterilir.kümeler kesişim

A ∩ B kümesi taralı bölgedir.

Kümelerde kesişim ile ilgili özellikler;

A ∩ A = A dır. (Tek kuvvet özelliği)

A ∩ Ø = Ø ∩ A = Ø

A ∩ E = E ∩ A = A

A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Birleşme özelliği)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği)

A ⊂ B ? A ∩ B = A

A ? Ø ve B ? Ø olmak üzere,
A ∩ B = Ø ise A ile B kümelerine ayrık kümeler denir.
ayrık kümeler
A ile B ayrık kümeler

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

c) Tümleme İşlemi
E, evrensel küme ve A ⊂ E olsun.
Evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni denir ve Aı ile gösterilir.
tümleme kümeler

Taralı bölge A kümesinin tümleyenidir.

A ∩ Aı = Ø

A ∪ Aı = E

Øı = E, Eı = Ø

(Aı)ı = A

s(A) + s(Aı) = s(E)

A ⊂ B ? Bı ⊂ Aı

(A ∪ B)ı = Aı ∩ Bı (De Morgan kuralı)

(A ∩ B)ı = Aı ∪ Bı (De Morgan kuralı)

Kümelerde İşlemler Konu Anlatımı 2

1 ) Kesişim Kavramı:  A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A  B  biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B kümeleri ayrık kümeler ise bu iki kümenin kesişimi boş kümedir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

(A  B) = Ø A ve B ayrık kümelerdir.

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin kesişimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

(A  B) = A A  B

Kesişimin Özellikleri :

  • Tek Kuvvet Özelliği:  A  A = A
  • Yutan Eleman Özelliği: A   Ø = Ø
  • Değişme Özelliği:  A  B = B  A
  • Birleşme Özelliği:  (A  B)  M = A  (B  M)

 

2 ) Birleşim Kavramı:  A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve     A  B  biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin eleman sayılarının toplamı A ile B’ nin birleşimlerinin eleman sayısına eşit ise bu kümeler ayrık kümelerdir. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

s(A  B) = s(A) + s(B) A ve B ayrık kümelerdir.

Kritik Nokta : A ve B kümelerinin b irleşimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerini kapsar. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

(A   B) = A A  B

 

Kritik Nokta: A ve B kümelerinin b irleşimi kümelerden birini veriyorsa, bu küme diğerini kapsar. (Bu önermenin tersi de doğrudur.)

A  B = Ø (A = Ø ve B = Ø) dir.

Birleşimin Özellikleri :

  • Etkisiz Eleman Özelliği : A  Ø = A
  • Tek Kuvvet Özelliği : A  A = A
  • Değişme Özelliği:   A  B = B  A
  • Birleşme Özelliği:  (A  B)  M = A  (B  M)

 

Dağılma Özellikleri: 

1 ) Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C) dir.

Bu özelliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.

(A ∪ B ) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.

 

Kritik Nokta: Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır denir.

2 ) Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.

(B ∩ C ) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) dır.

Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir.

3 ) Fark Kavramı:   A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A / B biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, A/B kümesinin elemanı var fakat B/A kümesinin hiç elemanı yoksa B kümesi A kümesinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

s(A/B) ≠ 0 , s(B/A) = 0 A  B dir.

Farkın Özellikleri:

  • A / A = Ø , A / Ø = A , Ø / A = Ø
  • A / B ≠ B / A
  • (A / B )  B = A  B
  • A / (B  C) = (A / B )  (A/ C)
  • A / (B  C) = (A / B )  (A/ C)

 

4 ) Tümleyen Kavramı: Bir kümenin dışında kalan elemanların oluşturduğu kümeye bu kümeni tümleyeni denir.

A kümesinin tümleyeni A‘ veya Ā ile gösterilir.

Kritik Nokta: Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni yine kendisine eşittir.         (A‘)‘ = A

Kritik Nokta: B kümesi A kümesinin alt kümesi ise B kümesinin tümleyeni de A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

B  A B’  A‘ dir.

Tümleyenin Özellikleri:

  • E‘ = Ø , Ø’ = E
  • s(A) + s(A‘) = E
  • A  A‘ = E , A  A‘ = Ø
  • E   A‘ = E , E  A‘ = A‘

 

De Morgan Kuralı
A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yapılan birleşim, kesişim ve tümleme işlemleri arasında De Morgan kuralları vardır.
Buna göre,

(A B )‘ = A‘  B‘ , (A  B )‘ = A‘  B‘

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A  B ) = s(A) + s( B ) – s(A  B )

 

s(A  B  C) = s(A) + s( B ) + s(C) – s(A  B) – s(A  C) – s(B  C) + s(A  B  C)

 

s(A  B ) = s(A – B ) + s(A  B ) + s(B – A)

a + b + c + d tane telefon sahibinin bulunduğu bir binada V hattını kullananların sayısı s(V) = b + c,

T hattını kullananların sayısı s(T) = a + b,

V ve T hattını kullananların sayısı s(T  V) = b olsun.

 

 T ve V hattını kullananların sayısı: a + b + c

 Sadece T hattını kullananların sayısı: a

 Sadece V hattını kullananların sayısı: c

 T hattını kullanmayanların sayısı: c + d

 V hattını kullanmayanların sayısı: a + d

 Bu iki hattan en az  birini kullananların sayısı: a + b + c

 Bu iki hattan en çok birini kullananların  sayısı: d + a + c

 Bu iki hattan hiç birini kullanmayanların sayısı: d

Kümelerde Temel İşlemler çıkmış soru çözümleri

Konu ile ilgili konu anlatımlı videolar;


 

Değerli okurumuz 9.sınıf matematik dersi kümelerde temel kavramlar konu anlatımımızın sonunda geldik bir sonraki 9.sınıf matematik dersimizde görüşmek dileğiyle.

 

CEVAP VER

Lütfen yorumunuzu giriniz!
Lütfen isminizi buraya girin

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.