Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi Konu Anlatım -PDF
| NOT: Konu ile ilgili PDF, Çıkmış Soru Çözümleri ve Konu anlatım videoları sayfanın en alt kısmındadır. |
Konu ile ilgili Pdf Kitap için Tıkla
Matematiğin pek çok konusunun temelini Fonksiyonlar konusu oluşturmaktadır. Bu sebeple bu konunun temellerinin iyi atılması ve ezbere dayanmadan konunun temeli mantık sistemine oturtulmalıdır.
Öncelikle Fonksiyon Kavramını tanımlayalım. 2 küme ele alalım. Kümelerimiz boş olmayan ve A ve B ile gösterilen kümeler olsun. A kümesinde bulunan her bir elemanı B kümesinde yalnızca bir elemanla eşleştiren bağıntıya A’dan B’ye bir fonksiyon denir ve genellikle de bu ifade ‘’f’’ harfi ile gösterilir. Aynı şekilde f fonksiyonu f: A àB şeklinde ifade edilmektedir. Burada A kümesinin ismi ‘’tanım kümesi’’, B kümesinin ismi de ‘’değer kümesi’’ olarak ifade edilmektedir.
Unutulmamalıdır ki; her bağıntı bir fonksiyon değildir ve bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için şu kurallara uyması gerekmektedir;
– A kümesinde eşlenmemiş hiçbir eleman kalmaması gerekmektedir. Bu duruma A’daki her elemanın B kümesinde görüntüsü olması gerekmektedir denilmektedir.
– A’da bulunan her eleman yalnız ve yalnız B’deki 1 eleman ile eşlenebilir. Fakat B’de bulunan bir eleman A’da ki birden fazla elemanın görüntüsü olabilir.
– Eğer iki küme arasında tanımlanabilecek kaç fonksiyon olduğu sorulursa bu durumda; s(B) üzeri s(A)tanımlanabilecek fonksiyon sayısını vermektedir.
– Eğer size bir grafik verilmiş ve bunun fonksiyon olup olmadığı sorulmuş ise; y eksenine paralel doğrular çizeriz ve bu doğruların grafiği kaç noktada kestiğini inceleriz. Eğer paralel doğrular sadece bir noktada grafiği kesiyorsa grafiğimiz bir fonksiyondur. Fakat birden fazla noktada kesişme varsa bu bir fonksiyon değildir.
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
Fonksiyon olması için;
1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.
2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.
3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.
4) B’de açıkta elaman kalabilir.
Örnek: A={ali,ayşe,fatma} B={sarma,makarna,pilav,yahni}
A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?
a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}
b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}
c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}
Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.
g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.
f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.
Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.
f: A—->B biçiminde yada f: x—->y biçiminde gösterilir.
y=f(x) yazılır. xϵA, y=f(x)ϵB olur.
Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.
Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma
Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni
Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni
Örnek: A={a,b,c} B={1,2,3,4,5,6} ise
Fonksiyonun elemanlarının liste yöntemiyle gösterimi
f={(a,2),(b,4),(c,4)}
Fonksiyonun görüntü kümesi
f(A)={2,4}
Örnek: A={-1,0,2,4}, f: A—->B, f(x) = x2-2 veriliyor. f ve f(A) kümesini
bulalım.
Tanım kümesindeki elemanlara x deriz.
x=-1 için f(-1)=(-1)2-2=-1
x=0 için f(0)=(0)2-2=-2
x=2 için f(2)=(2)2-2=2
x=4 için f(4)=(4)2-2=14
f={(-1,-1),(0,-2),(2,2),(4,14)}
f(A)={-1,-2,2,14}
Örnek: f(x+1)=3+f(x) ve f(1)=4 ise f(3) kaçtır?
f(x+1)=3+f(x) eşitliğinde
x=1 yazalım.
f(2)=3+f(1)
f(2)=3+4=7
x=2 yazalım.
f(3)=3+f(2)
f(3)=3+7=10
Örnek: f: R—->R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor. f(2x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti nedir?
f(x) = 3x+5
f(2x+3) = 3(2x+3)+5
f(2x+3) = 6x+14
f(2x+3) = 2(3x+5)+4
f(2x+3) = 2f(x)+4
Örnek: f: R—->R, f(3x+2) = x2-x+2 olduğuna göre f(5)+f(2) toplamı
kaçtır?
f(3x+2) = x2-x+2 fonksiyonun içlerini sırasıyla 5 ve 2’ye eşitleyeceğiz.
3x+2=5 buradan x=1 olur.
x=1 için f(5)=1-1+2=2
3x+2=2 buradan x=0 olur.
x=0 için f(2)=0-0+2=2
f(5)+f(2)=2+2=4
Düşey Doğru Testi
Bir grafikte tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen doğrular,grafiği bir noktada kesiyor ise grafik, fonksiyon grafiğidir.Bu işleme düşey doğru testi denir.
[img alt=”fonksyon_1″ src=”http://www.matematikcifatih.com/images/stories/matematik/fonksyon_1.jpg” width=”434″ height=”465″>
Fonksiyon Çeşitleri ve Türleri
Bire-Bir Fonksiyon
f: A—->B fonksiyonu için, A’nın farklı elemanlarını B’nin farklı elamanlarına eşleyen fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. (1-1 şeklinde de gösterilir.)
Yani farklı elamanların görüntüleri de farklı olmalıdır.
Örnek: Hangisi bire-bir fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2,3,4,5}
f={(0,0),(1,2),(2,4),(3,3)}
g={(0,1),(1,1),(2,3),(3,5)}
g fonksiyonunda 0 ve 1’in görüntüleri de 1’dir.Bire-bir olması için görüntülerin farklı olması gerekir.Yani bire-bir değildir.
f fonksiyonu bire-bir’dir.
Yatay Doğru Testi
Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde grafiği kesecek şakilde yatay eksene paralel doğrular çizilir.Çizilen bu doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir (1-1) fonksiyondur ya da bire birdir denir.Bu işleme yatay doğru testi denir.
[img alt=”fonksiyon_2″ src=”http://www.matematikcifatih.com/images/stories/matematik/fonksiyon_2.jpg” width=”403″ height=”423″>
Örten Fonksiyon
f: A—->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.Yani B’nin hiçbir elemanı açıkta kalmayacak.
Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyona 1-1 örten fonksiyon denir.
Örnek: Hangisi örten fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2}
f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}
g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}
g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. Yani örten değildir.
f fonksiyonu örten’dir.
Örnek: Sınıfımızdaki öğrencilerin kümesine tanım kümesi,sınıfımızdaki öğrencilerin okul numaralarının kümesine de değer kümesi diyelim.
Görüntü kümesini oluştururken her öğrenci kendi numarasıyla eşleşeceğine göre bu fonksiyon hem 1-1, hem de örten fonksiyondur.
İçine Fonksiyon
f: A—->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.Yani örten olmayan fonksiyondur.
Örnek: Hangisi içine fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2}
f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}
g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}
g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. g fonksiyonu içine fonksiyondur. f fonksiyonu içine fonksiyon değildir.
Birim Fonksiyon
A’dan A’ya bir fonksiyon için, her eleman kendisiyle eşleşiyorsa, bu fonksiyona birim fonksiyon denir.
I: A—->A , I(x)=x biçiminde ifade edilir.
Örnek: I: A—->A , I(x)=x
A={1,2,3} B={1,2,3}
f={(1,1),(2,2),(3,3)} birim fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesinin her elamanının görüntüsü aynı olan,yada görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona,sabit fonksiyon denir.
f(x)=c (cϵR)
Örnek: x—->y, f(x)=4
A={1,2,3} B={3,4,5}
f={(1,4),(2,4),(3,4)} sabit fonksiyondur.
Doğrusal Fonksiyon
Matematikte grafiği doğru olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.
f: R—->R f(x)=mx+n olarak ifade edilir.
Örnek: f: R—->R f(x)=mx+n
f(x)=x-2
g(x)=-4x+1
h(x)=5x
k(x)=x2
Yukarıdakilerin hepsi doğrusal fonksiyondur.
[img alt=”fonksiyon_3″ src=”http://www.matematikcifatih.com/images/stories/matematik/fonksiyon_3.jpg” width=”403″ height=”423″>
Fonksiyon Sayısı
A={a,b,c} , B={1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor.
a) A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı nedir?
s(B)s(A) formülüyle bulunur.
s(A)=3
s(B)=5
s(B)s(A) = 53 = 5.5.5 = 125’tir.
b) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyonların sayısı nedir?
s(A)=m, s(B)=n
P(n,m)=n!/(n-m)! Formülüyle bulunur.
P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=120/2=60’tır.
c) A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı nedir?
B’nin eleman sayısıdır.Sabit fonksiyon sayısı 5’tir.
d) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir örten fonksiyonların sayısı nedir?
s(A)=m ise A’dan A’ya tanımlanan bire-bir örten fonksiyon sayısı P(m,m)=m!
P(m,m)=m!= P(3,3)=3!=1.2.3=6’dır.
Konu İle İlgili Videolar