9.Sınıf Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımlı Ders Notları – PDF
| NOT: Konu ile ilgili PDF, Çıkmış Soru Çözümleri ve Konu anlatım videoları sayfanın en alt kısmındadır. |
TRİGONOMETRİ NEDİR? NE İŞE YARAR?
Trigonometri kelimesi Yunanca trigōnon (üçgen) ve metron (ölçmek) kelimelerinin birleşmesiyle oluşmuştur. Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen bir matematik dalıdır. Trigonometri günümüzde ekonomi, fizik ve mühendislik alanlarında sıkça kullanılmaktadır. Tabi kullanım alanları bununla sınırlı değildir. Mesela tarayıcı oyunu yaparken trigonometriye ihtiyaç duyabilirsiniz. Bakınız: Oyunlarda Trigonometri
DİK ÜÇGENDEKİ ORANLAR
Trigonometrik oranları yazarken resimdeki gibi bir isimlendirme kullanacağız. 90 derecenin karşısındaki kenara hipotenüs, seçtiğimiz açının karşısındaki kenara karşı kenar, geriye kalan ve açının bir kolu olan kenara ise komşu kenar diyeceğiz. İsimlendirme işinde de anlaştığımıza göre gelelim bu kenarları oranlamaya.
SİNÜS
Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü denir. Bir A açısının sinüsü “sin A” şeklinde gösterilir.
KOSİNÜS
Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının kosinüsü denir. Bir A açısının kosinüsü “cos A” şeklinde gösterilir.
TANJANT
Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı denir. Bir A açısının tanjantı “tan A” şeklinde gösterilir.
KOTANJANT
Bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjantı denir. Bir A açısının kontanjantı “cot A” şeklinde gösterilir.
ÇIKARILACAK DERSLER
Yukarıdaki trigonometrik oranları incelediğinizde aşağıdaki yazılanların bazılarını (belki hepsini) keşfetmiş olabilirsiniz. Ama biz yine de yazalım.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
# Birbirini 90 dereceye tamamlayan (birbirinin tümleri olan) iki açıdan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.
# Bir dar açının tanjantı ile kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir. (Çarpmaya göre tersi?)
“Komşu/Hipotenüs Sinüs müydü, Kosinüs müydü?” veya “Komşu / Karşı Tanjant mıydı, Kotanjant mıydı?” gibi sorulara çözüm olarak şöyle bir yöntem izleyebilirsiniz. “Ko” ile başlayanların (yani kosinüs ve kotanjant) payında komşu var.
ÖZEL DİK ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
30 – 60 – 90 ÜÇGENİ
Eşkenar üçgende bir kenara ait yükseklik çizilirse oluşan iki dik üçgenin de açıları 30° – 60° – 90° olur. Bu eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğunu 2a kabul edersek, oluşan dik üçgenlerde 30 derecelik açının karşısı a olur çünkü yükseklik aynı zamanda kenarortaydır. Yüksekliğin uzunluğunu da Pisagor Bağıntısından bulabiliriz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.
Buradan şu sonuçlara da varabiliriz. 30-60-90 üçgeninde:
# Hipotenüsün uzunluğu 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 2 katıdır.
# 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun 3–√3 katıdır.
45- 45 – 90 ÜÇGENİ
İkizkenar bir dik üçgenin açıları 45° – 45° – 90° ‘dir. Bu ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunu a kabul edersek hipotenüsün uzunluğunu Pisagor Bağıntısından a2–√a2 buluruz. Bu kenarları oranlarsak aşağıdaki trigonometrik oranları elde ederiz.
Buradan şu sonuca da varabiliriz. 45-45-90 üçgeninde:
# Hipotenüsün uzunluğu diğer kenarların uzunluğunun 2–√2 katıdır.
30° – 45° – 60° AÇILARININ TRİGONOMETRİK ORAN TABLOSU
Trigonometri, birçok kişinin korkulu rüyası olmuştur. “Sinüs hangi bölgede hangi işareti alır?”, “Kosinüs ne zaman artar, ne zaman azalır?” gibi sorulara verilen cevaplar çoğu kişi için ezber kavramlardan öte gidememiştir. Peki, nedir bu soruların cevapları? Aslında hepsi çok basit, hepimizin iyi bildiği bir kavrama dayanıyor: üçgen.
Üçgen, ülkemizdeki öğretim programlarında ve kitaplarda “aynı doğru üzerinde olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarından meydana gelen kapalı geometrik şekil” olarak tanımlanıyor. Peki, nedir bu kapalı şekil, çeşitleri nelerdir, kenarları ve açıları arasında nasıl bir ilişki vardır? Mevcut kitaplarda ve öğretim programlarının çoğunda bu sorulara cevap verilirken sabit (durağan) bir üçgen şekli kullanılır; üçgenin dinamik yapısından ve özelliklerinden ise hayli az bahsedilir. Örneğin 30o-60o-90o, kenarları 1, √3, 2 sayıları ile orantılı olan çoğumuzun bildiği özel bir dik üçgeni ele alalım. Bu özel üçgen ile ilgili bir soruyla karşılaştığımızda, çoğumuz bu sayıları ezberleyerek çözüme ulaşmaya çalışırız, ama kaçımız bu sayıları dik üçgeni kullanarak kolayca bulabileceğimizi biliyor?
30o-60o-90o dik üçgeniyle ilgili (bkz. Şekil 1) şu sorunun cevabını kalem ve kâğıt kullanmadan düşünelim: “Bu üçgendeki dik üçgeni koruyarak, 30 derece olan alan açıyı 35 dereceye çıkardığımızda, üçgenin diğer açıları ve kenarları nasıl değişir?” Bu soruyu sorduğum lisedeki bazı öğrenciler dik açıyı koruyarak dediğim halde, dik açıyı 85 dereceye düşürüp 30 derecelik açıyı 35 dereceye çıkardılar ve 60 derecelik açıyı korudular. Bazıları da “Hipotenüs değişmez çünkü karşısındaki açı değişmedi” , “AB uzunluğu artar çünkü karşısındaki 30 derecelik açı 35 dereceye çıkarıldı” ya da “BC uzunluğu azalır çünkü karşısındaki açının ölçüsü 60 dereceden 55 dereceye düştü” gibi karşılıklı açı ve kenarlar arasındaki ilişkiye dayanarak çıkarımlarda bulundu, fakat kullandıkları matematiksel bilgi yanlış sonuçlar doğurdu. Belki sizin de benzer yaklaşımlarınız olmuştur soruya. Kalem ve kâğıt kullanarak soruyu cevaplamalarını istediğimde ise, yine benzer cevapları verdiler ve sonuca ulaşamadılar. Öğrencilerin bu yanlış çıkarımlarını düzeltmek ve konuyu onlara daha iyi öğretebilmek için, GeoGebra dinamik matematik yazılımının özelliklerinden faydalanılabilir.
GeoGebra programında, açıları 30o-60o-90o olan bir dik üçgen çizerek 30 derece olan açının ölçüsünü 35 dereceye çıkaralım (http://tube.geogebra.org/student/m2594217 ). 30 derecelik açıyı 35 dereceye çıkarmak için iki seçeneğimiz var. Öncelikle, A noktasını seçip sol tarafa doğru sürükleyerek (bkz. Şekil 2) açıyı 35 dereceye çıkarabilirsiniz. Bu artışla beraber, BC doğru parçasının uzunluğunun değişmediğini, AB ve AC doğru parçalarının ise eş zamanlı olarak azaldığını gözlemleyebilirsiniz. İkinci bir seçenek olarak, B noktasını seçip yukarıya doğru sürükleyebilirsiniz (bkz. Şekil 3). Burada da, AC doğru parçasının uzunluğunun değişmediğini, BA ve BC doğru parçalarının uzunluklarının ise eş zamanlı olarak arttığını gözlemleyebilirsiniz. Görüldüğü üzere GeoGebra programı, bir dik üçgenin temel elemanlarından biri değiştiğinde, diğer temel elemanlarda oluşacak eş zamanlı değişimleri bulmayı ve yorumlamayı kolaylaştırabilir.
Yazının başında trigonometrinin temelinin üçgenlere dayandığından bahsetmiştik. Peki, sinüs ve kosinüsteki değişimi bu dik üçgeni kullanarak nasıl anlatabilirim? Üçgenler aynı zamanda trigonometrinin temeli olduğundan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın açıya bağlı olarak artması ya da azalması dik üçgenler kullanılarak anlatılabilir. Sinüs, “bir dik üçgende karşı kenarın hipotenüse oranı” olarak tanımlanır. Dolayısıyla ben bu üçgeni kullanarak “Sinüs 35 mi yoksa sinüs 30 mu daha büyüktür?” sorusunu kolayca cevaplayabilirim. Bunun için de bu değerlere karşılık gelen kenarların oranlarını karşılaştırmam yeterlidir. GeoGebra programı yardımıyla bu etkinliği çok basit bir şekilde yapabiliriz (http://tube.geogebra.org/student/m2594463 ). Öncelikle, bu değerleri programı kullanmadan karşılaştıralım, daha sonra verilen linkteki pencerede yer alan “Kenarların oranlarını göster” kutucuğunu işaretleyerek trigonometrik oranlardaki değişimi gözlemleyelim ve cevaplarımızı karşılaştıralım. Eğer cevabımız doğru değil ise, neden doğru olmadığını GeoGebra programını kullanarak keşfetmeye çalışalım. Görüldüğü gibi, GeoGebra programıyla, dik üçgenin temel bir elemanının, örneğin bir açının değişmesiyle beraber sinüs, kosinüs, tanjant gibi trigonometrik oranlardaki değişimi gözlemleyerek (bkz. Şekil 4) bu değerleri kolaylıkla karşılaştırabiliriz.
Yine trigonometri konusunda çoğu kişinin ezberlemeyi tercih ettiği sinüs 0o= 0, kosinüs 0o=1, tanjant 0o=0, tanjant 90o=∞ gibi bazı değerler var. Bu değerleri linkte verilen üçgeni kullanarak basitçe keşfedebiliriz. Örneğin A açısını temel alalım. A açısını 0 derece yapmak için, B noktasını sürükleyerek C noktasına yaklaştırdığımızda, bu trigonometrik oranları kolaylıkla hesaplayabiliriz ve penceredeki “Kenarların oranlarını göster” kutucuğunu işaretleyerek tahminlerimizin doğru olup olmadığını görebiliriz (bkz. Şekil 5). Sinüs 0’ı hep birlikte bulalım: Sinüs A karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır, yani a/c’dir. A açısını 0 derece olarak kabul ettiğimizde a kenarının uzunluğu da 0 olacaktır. Bu durumda sinüs A, a’nın hipotenüse (c’ye) oranı 0/10 şeklinde tanımlanacaktır. Matematikte 0’ın bir sayıya oranı 0 olduğu için sinüs A yani sin 0, 0’a eşittir diyebiliriz. Aynı şekilde kosinüs 0, tanjant 0, kotanjant 0, sinüs 90, kosinüs 90, tanjant 90, kotanjant 90 ve benzeri trigonometrik oranların da bu açı ölçülerine karşılık aldığı değerler kolaylıkla hesaplanabilir.
Birçok kişinin öğrenmede zorlandığı ve sadece ezberlenebilecek kavramlar olarak görülen trigonometrik oranlardaki değişim ve bazı önemli trigonometrik değerler, görüldüğü gibi GeoGebra programı kullanılarak basitçe öğrenilebilir. “Sinüs 30 mu yoksa sinüs 60 mı daha büyüktür?”, “Kosinüs 0 ile 90 derece arasında nasıl değişir?”, “Tanjant 45 neden 1’e eşittir?”, “Kosinüs 0’ın değeri nedir?”, “Tanjant 90’ın değeri nedir?” gibi soruların cevaplarını verilen link yardımıyla kolayca keşfedebilirsiniz. Ayrıca, “GeoGebra programının bu dinamiklik özelliğini ve üçgenleri kullanarak başka hangi karmaşık konuları kolayca öğrenebiliriz?” sorusunun cevabını ise siz sevgili okuyucularımıza bırakıyoruz.
Kaynaklar:
- Moore, K. C., “Making sense by measuring arcs: A teaching experiment in angle measure”, Educational Studies in Mathematics Education, Cilt 83, Sayı 2, s. 225-245, 2013.
- Thompson, P. W. ve ark, “ ‘The design of tasks in supportof teachers’ development of coherent mathematical meanings”, Journal of Mathematics Teacher Education, Cilt 10, Sayı 4-6, s. 415-432, 2007.
- Yigit, M., “Learning of Trigonometry: An Examination of Pre-Service Secondary Mathematics Teachers’ Trigonometric Ratios Schema”, Yayınlanmamış Doktora Tezi: Purdue Üniversitesi, West Lafayette, IN, Amerika Birleşik Devletleri, 2014.
- Yigit Koyunkaya ve ark, “Dynamic Right Triangles”, Mathematics Teacher, Cilt 109, Sayı 4, s. 320, 2015.
Trigonometride Bir ABC dik üçgenini ve elemanlarını şekildeki gibi inceleriz. 
Örnek: Rota problemi Bir gemi 10 km ‘yi 50º lik bir açıyla kuzey doğuya doğru katetmiştir. Bu durumda gemi kuzey ve doğudan ne kadar metre uzaklıktadır?
|
Sinüs:x açısının sinüsü karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
Örnek:
|
| Örnek:Bir demiryolu yatayla 1 derecelik eğime sahiptir. Demiryolunda giden tren 1 km sonra ne kadar yüksekliğe erişir?
|
Örnek:Bir merdiven 1.5 m uzaklıktaki bahçe duvarına dayanmaktadır. Merdivenin yatayla yaptığı açı 68° dir. Merdivenin dayandığı yerden duvarın yüksekliği nedir?
|
| Kosinüs:x açısının kosinüsü komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.
|
Örnek:
|
Örnek:  |
|
| Tanjant:x açısının tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
|
Örnek:
|
Örnek: 
|
|
|
|
|
300 , 600 , 450 lik açıların trigonometrik fonksiyonları
Şekilde bir kenarı a olan olan ABC eşkenar üçgeni ve yüksekliği verilmektedir. a = 2 ele alınırsa durum kolaylaşır. |
Bu durumda,
, 
, 
Örnek: 750 lik açının trigonometrik fonksiyonlarını bulalım.
 |
ABC eşkenar üçgeninde BD yüksekliğini uzatarak BA = AP =  alalım.APB üçgeni ikizkenar üçgen olur. ve APD ve BAP açıları 750 olur.
diğerleri okuyucuya bırakılmıştır. |
ve pythagor teoreminden;
 Şekilde bir kenarı a olan olan ABC ikizkenar dik üçgeni verilmektedir.
a = 1 durumunu ele alırsak işimiz kolaylaşır. |
, 
Dik ve ikizkenar üçgenlerin çözümü:
Örnek: = AC = 12 br. olan bir dik üçgende A açısının trigonometrik fonksiyonlarını hesaplayınız.Dik kenarları = BC=5 br. ,
 |
  ,  ,  ,  |
| Genel olarak, bir üçgenin en az biri kenar olmak üzere, üç elemanı verilmiş ise, diğer elemanları hesaplanabilir. | Dik üçgende bir açı 900 ;
İkizkenar üçgende iki kenar veya açı eşit olduğundan,
dik üçgen ile ikizkenar üçgenin çözümü için, en az biri kenar olmak üzere iki elemanın verilmesi yeterlidir.
|
Aşağıdaki örnekleri dik üçgenin çözümü için düşünülebilecek durumlar halinde özetleme olarak el almalısınız.
Örnek1: C = 900 , c = 43, B = 620 olarak verilen dik üçgenin a , b kenarlarını, A açısını ve S alanını bulunuz.
Çözüm: A = 900 – 620 = 280 ; a = 43*cos270 = 43*0,8910= 38,3132
b = 43 * sin620 = 43 * 0,8829= 37,9667 ; S = (38,3132 * 37,9667 ) / 2 = 381 br2 dir. (Başlat – çalıştır – calc yazın hesap makinesi açılsın ve işlemleri deneyin. Logaritma ile çözmeye ne dersiniz?)
Örnek2: C = 900 , a = 42,54 , A = 340 olarak verilen dik üçgenin b , c kenarlarını, A açısını ve S alanını bulunuz.
Çözüm: B = 900 – 340 = 560 ; b = a . tan B = 42,54 * tan 560 Þ b = 42,54 * 1,4825
Þ b = 63,0655
c = a / sinA Þ c = 42,54 / 0,5591 Þ c = 76,0739
S = (a * b) / 2 = (42,54 *63,0655 ) / 2 Þ S = 1341,4 br2
Örnek 3: C = 900 , a = 3,92 , c = 7,35 olarak verilen dik üçgenin b kenarını, A ve B açılarını ve S alanını bulunuz.
Çözüm: Sin A = a / c = 3,92 / 7,35 ve sinA =0,5333 ve A = 320 14′
B = 900 – 320 14′ = 570 46′ ve b = 3,92 * tan 570 46′ = 3,92 + 1,5860 ve b = 6,28
S = (3,92 * 6,28 ) / 2 = 121,9 br2
Örnek 4: C = 900 , a = 22 , b = 13 olarak verilen dik üçgenin c kenarını, A ve B açılarını ve S alanını bulunuz.
Çözüm: tanA = a / b = log 22 – log 13 = 0,22848 den A = 590 25′ 15” dir.
B = 900 – 590 25′ 15” = 300 34′ 45” S = ( 22 * 13 ) / 2 = 143 br2
Trigonometrik Oranlar İle İlgili Örnekler
Dik Üçgen ve Trigonometri Konu Anlatımlı Videolar: