2019 TYT Matematik Bölme Bölünebilme
- Konu ile ilgili PDF Ulaşmak için tıkla
- NOT: Önceki konu olan TYT Sayılar Konu Anlatım Ders Notlarına ulaşmak için tıkla
| NOT: Sizlere daha iyi ve güncel ders notu sunabilmek için kendimizi sürekli yeniliyoruz. Sizlerde son eklenen güncel ders notları ve eğitim haberlerinden anında haberdar olmak istiyorsanız sitemize Üye Olarak bildirimlerden anında haberdar olabilirsiniz. ÜYE OLMAK İÇİN TIKLAYIN |
Bölme Bölünebilme
A) Bölme
a, b, c, d, ve k birer doğal sayı, b ≠ 0 olmak üzere,
Bölme işleminde;
a : bölünen
b : bölen
c : bölüm
k : kalan ise
a = b.c + k biçiminde gösterilir.
Bir bölme işleminde;
- k < b dir.
- k = 0 ise a sayısı b sayısına tam olarak bölünür.
- Kalan bölümden küçük ise bölen ile bölümün yerlerinin değiştirilmesi kalanı değiştirmez.
KONU ANLATIMLARA ULAŞMAK İÇİN AŞAĞIDAKİ KONULARA TIKLAYABİLİRSİNİZ.
|
Sayılar |
Sayı Basamakları | Bölme ve Bölünebilme |
| OBEB-OKEK | Rasyonel Sayılar | Basit Eşitsizlikler |
| Mutlak Değer | Üslü Sayılar | Köklü Sayılar |
| Çarpanlara Ayırma | Oran Orantı | Denklem Çözme |
| Problemler | Kümeler | Fonksiyonlar |
| Permütasyon | Kombinasyon | Binom |
| Olasılık | İstatistik | 2. Dereceden Denklemler |
| Karmaşık Sayılar | Parabol | Polinomlar |
B) Bölünebilme Kuralları
| Burada sırasıyla 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ve 25 ile bölünebilme kuralları verilmiştir. | |
| 2 ile bölünebilme | Her çift sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayılar 2 ile tam bölünemeyip 1 kalanını verir. |
| 3 ile bölünebilme
|
Rakamlarının toplamı 3 ün katı olan sayı 3 ile tam bölünür. Kalan, rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. |
| 4 ile bölünebilme | Bir sayının son iki basamağı 4 ün katı ise bu sayı 4 e tam bölünür. Kalan son iki basamağında belirtilen sayının 4 ile bölümüne eşittir. |
| 5 ile bölünebilme | Bir sayının son rakamında 0 veya 5 bulunuyorsa o sayı 5 ile tam bölünür. Aksi halde kalan son basamağın 5 ile bölümünden kalana eşittir. |
| 6 ile bölünebilme | Eğer bir sayı 2 ve 3 e tam bölünüyorsa 6 ya da tam bölünür. |
| 7 ile bölünebilme | 1, 3 ve 2 sayıları bir sayının sırasıyla birler, onlar ve yüzler basamağıyla sırayla çarpılır. Çıkan üçlü grupların toplamlarının farkı, o sayının 7 ile bölümünden kalana eşittir. |
| 8 ile bölünebilme | Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8 ile tam bölünüyorsa o sayı 8 ile tam bölünür. Kalan o sayının son üç basamağının oluşturan sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir. |
| 9 ile bölünebilme | Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayı 9 ile tam bölünür. Kalan, rakamlar toplamının 9ile bölümünden kalana eşittir. |
| 10 ile bölünebilme | Bir sayının son rakamı 0 ise o sayı 10 ile tam bölünür. Değil ise o sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının son (birler) basamağındaki rakama eşittir. |
| 11ile bölünebilme | abcdef gibi bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağından itibaren birer atlanarak toplanır. Çıkan iki ayrı değerin farkının 11 ile bölümünden kalan, sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir. |
| 25 ile bölünebilme | Bir sayının son iki basamağındaki sayı 25 in katıysa o sayı 25 ile tam bölünür. Aksi durumda son iki basamağından oluşan sayının 25 ile bölümünden kalan, o sayının 25 ile bölümünden kalana eşittir. |
2 ve 5 ile bölünebilen sayılar 10 ile,
3 ve 4 ile bölünebilen sayılar 12 ile,
3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile,
2 ve 9 ile bölünebilen sayılar 18 ile,
4 ve 5 ile bölünebilen sayılar 20 ile,
2 ve 11 ile bölünebilen sayılar 22 ile,
3 ve 8 ile bölünebilen sayılar 24 ile,
4 ve 9 ile bölünebilen sayılar 36 ile,
5 ve 9 ile bölünebilen sayılar 45 ile,
C) Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri
1. Bir Doğal Sayının Çarpanlarına Ayrılması
Örnek:
120 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
Çözüm:
120 = 23.3.5 tir.
120 nin asal çarpanları 2, 3, ve 5 tir.
2. Bir Doğal Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı
Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli;
A = xa.yb.zc olsun.
- A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı = (a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
- A sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı = 2.(a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
- A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
- A sayısının asal bölenlerinin sayısı 3 tür. Bunlar x, y, z dir.
Bölünebilme Kuralları
106, 1024, 3338 gibi sayılar 2 ile tam bölünür.
105, 1027, 3339 gibi sayıların 2 ile bölümünden kalan 1’dir.
3 ile bölünebilme: Kpss matematik bölünebilme kuralları içindeki 3 ile bölünebilmede, rakamların sayı değerleri toplamı 3 veya 3’ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünmektedir. Buradan bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir mantığı ortaya çıkmaktadır.
627 = 6+2+7=15 Burada 15, 3 ile tam bölünebilmektedir ve kalan 0’dır. Dolayısıyla 627 sayısı da 3 ile tam bölünmektedir.329= 3+2+9=14 Burada ise 14’ün 3’e bölümünden kalan 2’dir ve 329 sayısının da 3 ile bölümünden kalan 2’dir deriz.
4 ile bölünebilme: Bir sayının son 2 basamağı 00 ya da 4’ün katı veya katları ise o sayı 4 ile tam bölünür.
5 ile bölünebilme: Son rakamı 0 veya 5 olan sayıların hepsi 5 ile tam bölünmektedir.
6 ile bölünebilme: Bir sayı hem 2’ye hem de 3’e aynı anda tam olarak bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile tam bölünebilir.
8 ile bölünebilme: Bir sayının son üç rakamı 000 ya da 8’in katı ise bu sayı 8 ile tam bölünür. Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
9 ile bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 ya da 9’un katları ise bu sayı 9 ile tam bölünür. 3 ile bölünebilme mantığıyla aynıdır. Bir sayının 9 ile tam bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
2655=2+6+5+5=18 Burada 18, 9 ile tam bölündüğünden 2655 sayısı da 9’a tam bölünür.
3620=3+6+2+0=12 Burada 12’nin 9 ile bölümünden kalan 3’tür. Dolayısıyla 3620 sayısının 9 ile bölümünden kalan da 3’tür.
10 ile bölünebilme: Son rakamı 0 olan tüm sayılar 10 ile tam bölünür. Bir sayının 10 ile bölümünden kalan ise birler basamağındaki rakamdır.
180,2030 gibi sayılar 10 ile tam bölünür.
1923 sayısının 10 ile bölümünden kalanı son rakamı olduğu gibi 3’tür.
11 ile bölünebilme: Sayının birler basamağından başlayarak her bir rakam sağdan sola sırasıyla ”+ – + – + -…”işaretleriyle işaretlenir. Daha sonra + işaretliler toplanır ve (-) işaretliler toplanır ve aralarındaki farka bakılır. Bu fark 0 ya da 11’in katı ise o sayı 11 ile tam bölünür.
468534 =4+5+6-3-8-4= 11-11 = o olacağından 468534 sayısı 11 ile tam bölünür.
539=9+5-3=11 olduğundan 439 sayısı 11 ile tam bölünür.
Aralarında Asal Çarpanlara Ayırarak Bölünebilme Kuralları
Kpss genel yetenek matematik konusunda bölünebilme kuralları içindeki diğer önemli konu da asal çarpanlara ayırarak oluşan bölünebilme kurallarıdır. Herhangi bir sayı, başka bir sayıya tam bölünüyorsa bunların aralarında asal çarpanlarına da ayrı ayrı tam bölünür.
12 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 4 ile tam bölünür. (4.3=12)
15 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 5 ile tam bölünür. (5.3=15)
30 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 10 ile tam bölünür (10.3=30)
45 ile bölünebilen bir sayı 5 ve 9 ile tam bölünür. (9.5=45)
55 ile bölünebilen bir sayı 5 ve 11 ile tam bölünür. (11.5=55)
Formüllerle Bölme Bölünebilme
Bir sayının 2 ile kalansız bölünebilmesi için son rakamın 0,2,4,6,8 rakamlarından birisi olması lazım.
Örneği: 30908:2=15454 kalansız olarak bölünür. Fakat son kısımda tek sayı olusa kalan 1 dir.
3 ile Bölünebilme
Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3 ‘ün katı olması gerekiyor.
Örnek: 756:3=? 7+5+6=18:3=6 kalan 0 dır.
| Örnek: 8a1 sayısı 3 sayısına kalansız bölünüyorsa a yerine yazılabilecek değerlerin toplamı nedir?
8a1 |
Açıklama:8+a+1 sayısı 9a dır. 9 da 3 tam olarak geldiği için a yerine 3 bölünebilecek sayıları yazmamız lazım. |
4 ile Bölünebilme
Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için son 2 sayısına bakılır. Bu 4 katı ise tam olarak bölme işlemi yapılabilir.
| Örnek: a4b sayısı 3 ve 4 sayısına kalansız bölünüyorsa a yerine yazılabilecek en büyük sayı kaçtır?
a4b |
Açıklama:ilk önce 4 ile bölünebilme kuralında son iki rakama bakılır demiştik. Buna göre sona 4 veya 8 gelir. Bu iki durumu bakarak a yerine gelebilecek sayıları belirleyelim. |
5 ile Bölünebilme
1 sayının 5 ile bölünebilmesi için son rakamının 0 veya 5 olmasına bakılır.
| Örnek: 6ab sayısı 5 ile bölümünden kalan 4 ise ve 4 tam bölünebiliyorsa a yerine kaç yazılır?
6ab |
Açıklama:Sayımız 5 ile bölümünden kalan 4 ise sayımız ya 4 yada 9. 9 olursa 4 tam olarak bölünmez. 4 ise a yerine 4 katı olabilecek rakamları bularak sonuca ulaşabilirsiniz. |
6 İle Bölünebilme
Bir sayının 6 ile bölünebilmesi için hem 2 ‘ye hemde 3 tam olarak bölünmesi gerekiyor. Soruları çözerken ikisini de göz ardı edin.
| Örnek: 4ab sayısı 6 ve 5 ile bölünebiliyor ise a=? 4ab ↓ ↓ a= 3 adet 2 0 5 5 8 |
Açıklama:Sayımız 5 ile bölündüğüne göre 0 yada 5 olmalı. 6 bölünebilmesi için 2 ve 3 bölünmesi gerekli. buna göre değerler verin. |
9 İle Bölünebilme
Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için 9 sayısının katı olması gerekiyor.
Örnek: 27 basamaklı 2 sayısının 9 ile bölünmesinden kalan kaçtır?
27*2=54 sayısının 9 ile bölünmesinden kalan 0 dır.